¿Por qué este límite $\lim_{x\to b} f(x)$ ¿Existen?

Question

Sea $f:(a,b) \to \mathbb R$ sea una función continua inyectiva.

Quiero ampliarlo continuamente a $[a,b]$ . Para ello necesito $\lim_{x\to a}f(x)$ y $\lim_{x\to b}f(x)$ de existir. Pero no tengo claro que existan.

¿Por qué $\lim_{x\to b}f(x)$ existe si $f$ ¿es inyectiva?

Answer 1

Estos límites podrían no existir. Sea $a=-\pi/2$ , $b=\pi/2$ y $f(x)=\tan(x)$ . Para que existan estos límites se necesita una forma de continuidad más fuerte: la continuidad uniforme.

Answer 2

Aquí tienes dos caminos.

Primero: Supongamos que $f$ está limitada

Al hacer eso, usted tiene agradable, real $\sup$ y $\inf$ de la función.

No es tan difícil demostrar, mediante el teorema del valor intermedio, que una función continua inyectiva en un intervalo es estrictamente decreciente o estrictamente decreciente. WLOG, podemos suponer que es creciente, y entonces es fácil demostrar que $\lim\limits_{x \to b}f(x)=\sup\limits_{x \in (a,b) } f$ y $\lim\limits_{x \to a} f(x)=\inf\limits_{x \in (a,b) } f$ .

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Segundo: Amplíe su codominio

Si se considera la ampliación de $f$ a la recta numérica ampliada, es decir, $f:(a,b) \rightarrow [-\infty,\infty]$ entonces $\sup$ y $\inf$ existirá, independientemente de $f$ estar delimitado o no. Y puede ampliar $f$ a una función continua en $[a,b]$ cualquier caso, teniendo en cuenta que puede acabar teniendo $f(a)$ o $f(b)$ en $\infty$ o $-\infty$ .

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Ahora, respondiendo directamente a su pregunta: Los límites pueden no existir si $f$ no está acotada. Si lo está, lo están, por lo que dije en "Primero". Si $f$ no está acotado, puede que no existan, pero se puede "arreglar" el problema utilizando lo que he dicho en "Segundo".

Answer 3

$f$ debe ser uniformemente continua para que pueda extenderse continuamente a $[a,b] = (a,b)^-$ . (Cierre)

Los límites existirán pero podrían ser $\pm \infty$ .