Si para una función entera $f(1)=i$ entonces encuentre el valor de $f(i)$

Question

Déjalo, $f(z)$ sea una función entera tal que $|f(z)|\le K|z|$ para todos $z\in \mathbb C$ para algunos $K>0$ . Si $f(1)=i$ entonces el valor de $f(i)$ es:

(a) $1$

(b) $-1$

(c) $i$

(d) $-i$ .

Sabemos que, si $f(z)$ es toda la función & $|f(z)|\le K|z|^{p}$ para algún número entero positivo $p$ entonces $f(z)$ es un polinomio de grado máximo $p$ .

A partir de este argumento, ¿cómo podemos resolver el problema? O cualquier otra técnica para resolverlo ..

Answer 1

Así, $f(z)=w\cdot(z-1)+\mathrm i$ para cada $z$ en $\mathbb C$ para un determinado $w$ en $\mathbb C$ y $f(0)=0$ de ahí $w=\mathrm i$ en particular $f(\mathrm i)=\mathrm i\cdot(\mathrm i-1)+\mathrm i=-1$ .

Answer 2

$f$ es un polinomio lineal como el citado por usted.

Así que.., $$f(z)=a_0+a_1z$$

y $|f(z)|\leq K|z|\implies |f(0)|\leq K|0|\implies f(0)=0$

Por lo tanto, $a_0=0$ y $f(1)=i\implies a_1=i$

por lo tanto, $f(i)=a_0+a_1.i=-1$