Cualquier número con de una forma $\frac{1}{n}$ tiene un decimal con un repetend de longitud finita que nunca es mayor que $n$ (demostrable por el principio de Dirichlet). (Ejemplo: $\frac{92}{99}=0.929292\ldots$ en cuyo caso es 92 el que se repite y la longitud de la serie es 2). ¿Hay alguna manera de encontrar TODOS los números de la forma $\frac{1}{n}$ que tienen repetends de longitud EXACTAMENTE $n$ ? ¿Existen infinitas y $\sum_{\text{$ n $ with this property}}\frac{1}{n}$ ¿convergen o no?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Este es un ejemplo de libro de texto de una pregunta para la que uno debe recurrir a la OEIS de asistencia. Los primeros elementos de este conjunto son
$$ 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, 223, 229, 233, 257, \dotsc$$
y la OEIS luego te dice que estos son los full reptend primes en base 10 ( OEIS A001913 ). De hecho, basta con introducir los tres primeros elementos 7, 17, 19 de esta secuencia en la OEIS para obtener los primos reptend completos como primer resultado de búsqueda.
Conjetura de la raíz primitiva de Artin predice que este conjunto tiene una densidad asintótica $$ \prod_p \left(1 - \frac{1}{p(p-1)}\right) = 0.373955\dots$$ en el conjunto de todos los primos; puesto que la suma de recíprocos de primos diverge, predice por tanto que su suma también diverge. Esta conjetura es conocida ( Hooley - Conjetura de Artin ) bajo una versión suficientemente fuerte de GRH, pero permanece abierta incondicionalmente; incluso se desconoce la afirmación más débil de que existen infinitos primos de este tipo para una base fija, aunque se sabe por ejemplo (véase Heath-Brown - Conjetura de Artin para raíces primitivas ) que hay a lo sumo dos bases primos para los que falla la última afirmación.
