No he comprobado todos los detalles, pero creo que la historia podría ser así. (Tengo que pedir disculpas: es un poco larga).
(1) Sea $F:\mathsf A\rightarrow \mathsf B$ sea un functor exacto aditivo izquierdo entre dos categorías abelianas. Tomemos una resolución inyectiva de un objeto $A$ en $\mathsf A$ :
$$0\rightarrow A \rightarrow I^0 \rightarrow I^1 \rightarrow \cdots $$
Llamemos $i: A \rightarrow I^0$ el primer morfismo. Aplique $F$ a esta secuencia exacta:
$$0\rightarrow FA \rightarrow FI^0 \rightarrow FI^1 \rightarrow \cdots $$
Ahora, el total functor derivado derecho de $F$ aplicado a $A$ (pensado como un complejo concentrado en grado cero) es el complejo
$$\mathbb RF(A) = [ FI^0 \rightarrow FI^1 \rightarrow FI^2 \rightarrow \cdots ]$$
y el clásico functores derivados derechos de $F$ son su cohomología:
$R^nF(A) = H^n(\mathbb RF(A)) = H^n(FI^)$ .
Estos ${R^nF}_n$ son un funtor delta cohomológico universal y tenemos una transformación natural de functores
$$qF \Rightarrow (\mathbb RF)q$$
que es esencialmente
$$Fi: FA \rightarrow \mathbb RF(A)$$
(aquí hemos ampliado $F$ de grado a la categoría de complejos, y éste es el grado cero de la transformación natural, porque $\mathbb RF(A)^0 = FI^0$ ).
(2) Ahora, dejemos que $T^n : \mathsf A \rightarrow \mathsf B$ sea un delta-functor cohomológico y $f^0 : F \Rightarrow T^0$ una transformación natural. Tenemos que ampliar esta $f^0$ a un morfismo único de delta-functores ${ f^n : R^nF \Rightarrow T^n }$ .
Para ello, obsérvese que, en general, dados dos funtores derivables por la derecha entre dos, digamos, categorías modelo $$F,G: \mathsf C \rightarrow \mathsf D$$ y una transformación natural entre ellos $t: F \Rightarrow G $ tenemos una transformación natural entre los functores derivados totales derechos $\mathbb Rt : \mathbb RF \Rightarrow \mathbb RG$ debido a la propiedad universal de los functores derivados:
En efecto, si $f : qF \Rightarrow (\mathbb RF)q$ y $g : qG \Rightarrow (\mathbb RG)q$ son los morfismos universales de los funtores derivados, entonces tenemos una transformación natural
$$gt : F \Rightarrow (\mathbb R G)q$$
y, por tanto, debido a la propiedad universal de los funtores derivados, una única transformación natural $\mathbb R t : \mathbb R F \rightarrow \mathbb R G$ tal que $(\mathbb R t)qf = g$ .
(3) Por lo tanto, tome nuestra $f^0 : F \Rightarrow T^0$ y extenderla a una transformación natural entre los funtores inducidos de grado entre complejos. Pasando a los functores derivados, obtenemos
$$\mathbb R f^0 : \mathbb R F \Rightarrow \mathbb R T^0.$$
Tomando la cohomología, para cada $n$ obtenemos
$$H^n(\mathbb R f^0) : H^n (\mathbb R F) \Rightarrow H^n (\mathbb R T^0).$$
Pero estos son los functores derivados derechos clásicos, así que tenemos transformaciones naturales
$$R^nf : R^n F \Rightarrow R^nT^0$$
y como los functores clásicos derivados a la derecha son functores delta universales, tenemos transformaciones naturales únicas
$$i^n : R^nT^0 \Rightarrow T^n$$
que amplían la identidad
$$i^0 : R^0T^0 = T^0.$$
La composición
$$i^n \circ R^f : R^F \Rightarrow T^n$$
son, creo, los morfismos de delta-functores que necesitamos.
