demostración del resultado $g(c)=\bigg(\frac{g(x_{1})+g(x_{2})+g(x_{3})}{3}\bigg)$

Question

Sea $g$ sea una función continua definida en $[a,b].$ Sea $x_{1},x_{2},x_{3}\in(a,b).$ Entonces demuestre que existe un número real $c\in[a,b]$ tal que $\displaystyle g(c)=\bigg(\frac{g(x_{1})+g(x_{2})+g(x_{3})}{3}\bigg)$

Lo que intento

Utilizando el teorema del valor medio de Lagrange

Para $[x_{1},x_{2}]$

$$g'(c_{1})=\frac{g(x_{2})-g(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}$$

Dónde $c_{1}\in(x_{1},x_{2})$

Para $[x_{2},x_{3}]$

$$g'(c_{2})=\frac{g(x_{3})-g(x_{2})}{x_{3}-x_{2}}$$

Dónde $c_{2}\in(x_{2},x_{3})$

A partir de aquí no entendí como solucionarlo.

Ayúdame por favor

Answer 1

En Raskolnikov Pregunta comentario estados, no se puede asumir necesariamente $g(x)$ es diferenciable. En cambio, por la teorema del valor extremo ya que $g(x)$ está definida y es continua en el conjunto cerrado $[a,b]$ también está acotado en ese conjunto, y cada uno de esos límites se alcanza al menos una vez. Sea $M_1$ sea el límite inferior y $M_2$ sea el límite superior. Entonces tienes que

$$M_1 \le g(x_1) \le M_2 \tag{1}\label{eq1A}$$ $$M_1 \le g(x_2) \le M_2 \tag{2}\label{eq2A}$$ $$M_1 \le g(x_3) \le M_2 \tag{3}\label{eq3A}$$

Añadiendo estos $3$ desigualdades da

$$3M_1 \le g(x_1) + g(x_2) + g(x_3) \le 3M_2 \implies M_1 \le \frac{g(x_1) + g(x_2) + g(x_3)}{3} \le M_2 \tag{4}\label{eq4A}$$

Así, por el teorema del valor intermedio , hay un $c \in [a,b]$ tal que

$$g(c)=\left(\frac{g(x_{1})+g(x_{2})+g(x_{3})}{3}\right) \tag{5}\label{eq5A}$$