Expresa tan(60 deg) como suma de tan(1 deg)

Question

Utilizar la identidad $tan(a+b)= \frac{tan(a)+tan(b)}{1-tan(a)tan(b)}$ ¿cómo se expresa $tan(60^{\circ})$ en términos de $tan(1^{\circ})$ ?

Edición: Veo que $tan(2^{\circ}+1^{\circ})=\frac{tan(1^{\circ})+tan(2^{\circ})}{1-tan(1^{\circ})tan(2^{\circ})}$ y entonces podemos sustituir $tan(2^{\circ})$ con $tan(1^{\circ}+1^{\circ})$ . Es que me cuesta ver cómo itera (o dónde van los "...").

Answer 1

Los siguientes resultado general retenciones:

$\tan(x_1+x_2+\cdots+x_n)=\dfrac{s_1-s_3+s_5-s_7+\cdots}{1-s_2+s_4-s_6+\cdots}$

donde

$s_1=\tan x_1+\tan x_2 + \cdots+\tan x_n\quad\quad\;\;:\text{$ \quad $sum of the tangents taken one at a time}$ $s_2=\tan x_1\tan x_2+\tan x_1\tan x_3+ \cdots\quad:\text{$ \quad $sum of the tangents taken two at a time}$

etc.

Esto se puede demostrar por inducción.

Así,

$$\begin{align} &\tan 60^\circ=\tan(\underbrace{1^\circ+1^\circ+\cdots+1^\circ}_\text{60 times})\\\\\\ \\=&\dfrac{\displaystyle{60 \choose 1}\tan 1^\circ-{60 \choose 3}\tan^3 1^\circ+\cdots-{60 \choose 59}\tan^{59}1^\circ} {\displaystyle 1-{60 \choose 2}\tan^2 1^\circ+{60 \choose 4}\tan^4 1^\circ+\cdots+{60 \choose 60}\tan^{60} 1^\circ}\\\\\\\\ \\=&\dfrac{\displaystyle\sum^{29}_{i=0}{60\choose 2i+1}(-1)^i\tan^{2i+1} 1^\circ} {\displaystyle\sum^{30}_{i=0}{60\choose 2i}(-1)^i\tan^{2i} 1^\circ}. \end{align}$$

Answer 2

SUGERENCIA:

En $60=2^5+2^4+2^3+2^2=2^6-2^2$

Primera serie $a=b=1$ encontrar $\tan2^\circ$ en términos de $\tan1^\circ$

A continuación, establezca $a=b=2^\circ$ encontrar $\tan4^\circ$ en términos de $\tan2^\circ$ que ya está en términos de $\tan1^\circ$

Entonces $a=b=4^\circ$

Entonces $a=b=8^\circ$

Entonces $a=b=16^\circ$

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o $60=2^6-2^2$

Entonces $a=b=32^\circ$