Cálculo de la corriente de Noether para la corriente electromagnética que interactúa con un fermión de Dirac

Question

Estoy tratando de confirmar que el curren conservado $$ {L} = -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} -j^{\mu}A_{\mu}+\bar\psi(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}-m)\psi $$ asociada a la transformación $$\psi(x) \rightarrow e^{-ieQa}\psi(x)$$ es $$j_{\mu} = eQ\bar\psi\gamma^{\mu}\psi.$$

Sería estupendo disponer de un método de cálculo.

También quería saber si $Q$ en este caso es un operador (es decir, un operador de carga). Si es así, presumiblemente tiene que ser un escalar como para $\mu =0$ , $\psi\gamma^{0}\psi$ también sería un escalar y un operador que se aplica a un escalar parece contraintuitivo. Sin embargo, en QFT tenía la impresión de que, tras la primera cuantificación, todas las magnitudes físicas se representaban mediante operadores. Agradecería cualquier información sobre este tema.

Answer 1

Algunas observaciones:

• El teorema de Noether es un resultado clásico, así que primero se aplica Noether y luego se cuantiza. Así que, a efectos del teorema de Noether, la carga es un escalar (número c).

• El teorema de Noether en su forma ordinaria sólo se utiliza para la "acción de la materia", sin la presencia del campo gauge. En ese caso, $j^\mu=\mathcal P^\mu_A\delta\psi^A$ donde $A$ es un índice de campo, y $\mathcal P^\mu_A=\partial \mathcal L/\partial\partial_\mu\psi^A$ es el momento lagrangiano. La acción de la materia es $$ \mathcal L=\bar\psi(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\psi, $$ la variación es $\psi_\epsilon=e^{-i\epsilon Qa}\psi$ Así que $\delta\psi=-iQa\psi$ y $\bar\psi_\epsilon=e^{i\epsilon Qa}\bar\psi$ Así que $\delta\bar\psi=iQa\bar\psi$ los momentos son $\mathcal P^\mu=\bar\psi i\gamma^\mu$ y $0$ cuando se varía con respecto al adjunto, por lo que la corriente es $$j^\mu=Qa\bar\psi\gamma^\mu\psi,$$ que es lo que tiene en su pregunta.

• Si está presente la acción acoplada campo gauge/materia, entonces se utiliza un procedimiento diferente, tipo Noether, para deducir la corriente conservada. A veces se denomina segundo teorema de Noether. Básicamente, si $S_m[\psi,A]$ es la acción de la materia extendida por el campo gauge, entonces definimos $$ \mathcal J^\mu=\frac{\delta S_m}{\delta A^\mu} $$ como la corriente. Puesto que la acción de la materia extendida es invariante de gauge, realizar una transformación infinitesimal de gauge la deja invariante, por lo que tenemos $$ \delta S_m=\int d^4x\ \left( \frac{\delta S_m}{\delta \psi}\delta\psi+\frac{\delta S_m}{\delta A_\mu}\delta A_\mu\right)\approx\int d^4x\ \frac{\delta S_m}{\delta A_\mu}\delta A_\mu=\int d^4x\ \mathcal J^\mu\delta A_\mu=0. $$ Sin embargo, bajo una transformación gauge infinitesimal, el campo gauge $A$ se transforma en $iQA^\prime_\mu=iQA_\mu+e^{-i\epsilon Qa(x)}\partial_\mu e^{i\epsilon Q a(x)}=iQA_\mu +\partial_\mu(i\epsilon Qa)=iQA_\mu+i\epsilon Q\partial_\mu a,$ y así $$ \delta A_\mu=\partial_\mu a, $$ de ahí $$ \delta S_m=\int d^4x\ \mathcal J^\mu\partial_\mu a=-\int d^4x\ \partial_\mu J^\mu a=0, $$ y puesto que la función gauge $a$ es arbitraria, obtenemos $\partial_\mu\mathcal J^\mu=0$ .

• Ahora sólo queda calcular $\delta S_m/\delta A_\mu$ . La acción de la materia con extensión gauge es $$ S_m[\psi,A]=\int d^4x\ \bar\psi(i\gamma^\mu D_\mu-m)\psi, $$ donde $D_\mu=\partial_\mu+iQA_\mu$ de lo que se obtiene $$ S_m[\psi,A]=-\int d^4x\ Q\bar\psi\gamma^\mu A_\mu\psi+S_m[\psi,0], $$ y así $$ \frac{\delta S_m}{\delta A_\mu}=-Q\bar\psi\gamma^\mu\psi=\mathcal J^\mu. $$

• Como es visible, la corriente $\mathcal J^\mu$ difiere de $j^\mu$ mediante una señal, y la presencia de $a$ sin embargo, la diferencia de signo puede explicarse por el hecho de que no fui lo suficientemente cuidadoso con las convenciones, y el factor de $a$ puede explicarse por el hecho de que las corrientes pueden reescalarse, y podría haber cocido la coordenada del álgebra de Lie $a$ en el parámetro variacional $\epsilon$ desde el principio.