Podemos identificar el espacio dual de $l^\infty$, con otro "espacio natural"?. Si la respuesta es sí ¿qué cerca de $L^\infty$. Por la doble espacio, me refiero al espacio de todos lineal continua y funcionales.
Respuestas
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Sí, si $(\Omega \Sigma \mu)$ es un (completa) $\sigma$-finito medir el espacio entonces $(L^{\infty}(\Omega\Sigma\mu))^{\ast}$ es el espacio $\operatorname{ba}(\Omega \Sigma\mu)$ de todos los finitely aditivo finito firmado medidas definidas en $\Sigma$, que son absolutamente continua con respecto a $\mu$, equipado con el total de la variación de la norma. La prueba es relativamente fácil y se puede encontrar por ejemplo en Dunford-Schwartz, Operadores Lineales I, Teorema IV.8.16, página 296.
Debo añadir que en el teorema de Dunford-Schwartz tratar el caso general, lo cual es un poco más complicada para el estado. La dualidad es la que cabría esperar, a saber, la "integración". Hasta donde yo sé, el espacio bidual de $L^{\infty}$ no de forma explícita descripción analítica, sin embargo (lo que debe significar precisamente).
Por otra parte, el canónica de la incrustación de $L^{1}(\Omega\Sigma\mu) \a \operatorname{ba}{(\Omega\Sigma\mu)}$ es, por supuesto, el mapa de envío de $f$ a la firma de la medida $d\nu = f\,d\mu$. En el $\sigma$-finito caso, la imagen de este mapa puede ser recuperado por mirar el $\sigma$aditivo de las medidas a través de la Radon-Nikodym teorema (y $\sigma$-aditividad corresponde, por supuesto, precisamente, a la debilidad de los$^{\ast}$-continuidad de los funcionales en $L^{\infty} = (L^1)^{\ast}$).
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Esto quizás no sea una buena caracterización como finitely aditivo medidas en $\mathbb N$, pero podría ser vale la pena mencionar. (Puede ver de la siguiente manera: obtenemos más agradable medidas - $\sigma$-aditivo en lugar de finitely aditivo - en un proceso más complejo espacio - $\beta\mathbb N$ en vez de $\mathbb N$.)
El espacio $\ell_\infty$ es isométricamente isomorfo a $C(\beta\mathbb N)$, de ahí la doble es isomorfo a $C^*(\beta\mathbb N)$.
Más detalles acerca de la correspondencia entre $\ell_\infty$ y el de Stone-Cech compactification de los números enteros se puede encontrar en la wikipedia o en el capítulo 15 de Carothers libro de Un curso corto en espacio de Banach teoría.
Ahora, $C^*(\beta\mathbb N)$ es el espacio de Borel regular medidas en $\beta\mathbb N$ por la representación de Riesz teorema.
De hecho, Carothers va al revés. En primer lugar, el doble de $C^*(\beta\mathbb N)$ es descrito a través de finitely aditivo medidas. Y entonces, él usa esto para probar Riesz teorema de representación de espacios compactos. (Esta prueba de Riesz' representación teorema es debido a Garling.)
