Espacio métrico y continuidad

Question

Definimos un mapa $f:(S,d)(S',d')$ entre 2 espacios métricos es continua en x pertenece a S si para cada secuencia ${x_n}$ en $S$ que converge a x, la secuencia {f(x_n)} en $S'$ es convergente a $f(x)$ Se nos da que $(S,d)$ es un espacio métrico y $x_0$ es un punto fijo en S. Defina $f:(S,d)(\Bbb R,d_{std})$ ser $f(x):=d(x,x_0)$ .

Si queremos demostrar que d es continua, sabemos que f es continua y ${f(x_n)}$ es convergente. Entonces, según el teorema, d tiene que ser convergente. Entonces, ¿podemos demostrar que d es continua?

Answer 1

Quiere demostrar que si $x_n \to x$ en $S$ entonces $d(x_n,x_0) \to d(x,x_0)$ en $\Bbb R$ . Esto se hace de la siguiente manera $\epsilon > 0$ . Por convergencia de $(x_n)_{n\geq 1}$ hay $n_0$ lo suficientemente grande como para que $d(x_n,x)< \epsilon$ si $n \geq n_0$ . Entonces: $$ |d(x_n,x_0)-d(x,x_0)| \color{red}{\leq} d(x_n,x) < \epsilon $$ para todos $n \geq n_0$ y así $f$ es continua (la misma $n_0$ funciona para ambas secuencias). El reto consiste en demostrar la desigualdad en rojo. Esto se puede hacer usando la desigualdad del triángulo dos veces y la definición de valor absoluto - esta tarea te la dejo a ti.

Answer 2

Sea $(a,b)\in S\text{x} S$ . Por los axiomas de la distancia $d$ tienes para un punto $(x,y)\in S\text{x} S$

$d(x,y)\le d(x,a)+d(a,b)+d(b,y)\Rightarrow d(x,y)-d(a,b)\le d(x,a)+d(b,y)$

Permutar $(y,b)$ y $(x,a)$ obtienes $$|d(x,y)-d(a,b)|\le d(x,a)+d(b,y)$$

Por lo tanto, para un $\epsilon >0$ puedes elegir $d(x,a)\le \frac {\epsilon}{2}$ y $d(b,y)\le \frac {\epsilon}{2}$ para verificar que $$(x,y)\to (a,b)\Rightarrow |d(x,y)-d(a,b)|\to 0$$

Esto demuestra la continuidad de $d$ ( $d$ tiene continuidad uniforme).