Definición de representación reducible

Question

Una representación reducible de un grupo $g \rightarrow D(g)$ es aquel que deja un subespacio $U$ invariante, es decir $D(g)|u\rangle \in U, \space \forall |u\rangle \in U$ Una representación completamente reducible es aquella que puede descomponerse en una suma directa de representaciones irreducibles.

En el libro de Howard Georgi "Lie Algebras in Particle Physics", define las representaciones irreducibles en términos de operadores de proyección (página 5 Ecuación 1.11) en términos de operadores de proyección P que se proyectan sobre el subespacio invariante:

$$ PD(g)P = D(g)P$$ donde, presumiblemente

$$ P = \sum_{\alpha} |\alpha \rangle \langle\alpha|$$ .

Además, Georgi define como representaciones completamente reducibles aquellas en las que tanto $P$ y $1-P$ se proyectan sobre un invariante(bajo la acción de $D(g)$ ).

Me cuesta ver cómo las definiciones de Georgi son equivalentes a la primera.

Answer 1

1. Dejar invariante un subespacio significa que $D(g)u\in U$ para todos $g\in G, u\in U$ . Desde $P_U v \in U$ para el proyector $P_U$ en $U$ y cualquier $v\in V$ , tienes que $D(g)P_U v \in U$ para todos $v\in V$ . Así que aplicando $P_U$ de nuevo a $D(g)P_U v$ no hace nada, puesto que este último ya está en $U$ no hay nada que proyectar.

2. $1 - P$ es el proyector sobre un subespacio $U^\ast$ disjuntos de $U$ y $V = U \oplus U^\ast$ (este es un hecho habitual sobre los proyectores).