¿Es posible modelar una subcolección como una función?

Question

Un subconjunto de X puede verse como inyección $f :S \rightarrow X$ donde $S$ es una estructura cuya única relación es la igualdad.

Si permitimos $f$ sea una función arbitraria, obtenemos la noción de multiconjunto.

Si además afirmamos que $S$ es un conjunto bien ordenado, obtenemos la noción de secuencia en $X$ (potencialmente transfinito).

Pregunta: ¿es posible modelizar la noción de subcolección $\mathcal{K} \subseteq \mathcal P(X)$ en función de $f:S \rightarrow X$ ?

Answer 1

Puede ser posible, pero creo que cualquier método sería muy "antinatural".

Sin embargo, aquí tienes una alternativa que te puede gustar: el juego de potencia $\mathcal{P}(X)$ de $X$ tiene una interpretación natural como la colección $\{0,1\}^X$ de todas las funciones $X\to\{0,1\}$ a través de la correspondencia $$g\in\{0,1\}^X\quad\longleftrightarrow\quad g^{-1}(0)\subseteq X,$$ y entonces se podría decir que un $\mathcal{K}\subseteq\mathcal{P}(X)$ puede interpretarse como un mapa inyectivo $f:S\to \{0,1\}^X$ .

Answer 2

No suelo responder a mis propias preguntas .... pero, aquí va una idea.

Sea $S$ sea una estructura formada por dos "ordenaciones", llámense "elementos" y "subconjuntos". Equipa $S$ con una relación $\in$ entre elementos (a la izquierda) y subconjuntos (a la derecha). Escribamos $f : S \rightarrow X$ para significar que $f$ es una función definida para cada elemento de $S$ .

Entonces, siempre que $\in$ es extensional podemos decir que una biyección $f : S \rightarrow X$ es una "subcolección" de $X$ . Si $\in$ no es extensional, todavía podemos llamar a $f$ una "multisubcolección". Si los subconjuntos de $S$ están bien ordenados, llame a $f$ "una secuencia (potencialmente transfinita) de subconjuntos de $X$ ."

Sólo una idea.