Los conjuntos de medida exterior cero son necesariamente medibles

Question

$\mu_*$ es una medida exterior y la definición de un conjunto medible Caratheodory, $E$ es que para cualquier $A \in X$ , $\;\;$ $\mu_*(A)=\mu_*(E\cap A)+\mu_*(E^c\cap A)$

Mi libro hace la observación de que todos los conjuntos de medida exterior cero son medibles y que esta observación es inmediata a partir de la definición. Podría alguien explicarme por qué esto es cierto?

Answer 1

Por la subaditividad de $\mu_{\ast}$ tenemos

$$\mu_{\ast}(A) \leqslant \mu_{\ast}(A\cap E) + \mu_{\ast}(A\setminus E)$$

cualquier conjunto $E$ es. Si $\mu_{\ast}(E) = 0$ entonces por monotonicidad ( $A\cap E \subseteq E$ ) de $\mu_{\ast}$ también tenemos $\mu_{\ast}(A\cap E) = 0$ y por tanto, una vez más por monotonía ( $A \setminus E \subseteq A$ ),

$$\mu_{\ast}(A\cap E) + \mu_{\ast}(A \setminus E) = \mu_{\ast}(A\setminus E) \leqslant \mu_{\ast}(A) \leqslant \mu_{\ast}(A\cap E) + \mu_{\ast}(A\setminus E),$$

así que igualdad en general.