Teorema de desingularización de Hironaka: ¿nuevas pruebas en la literatura?

Question

Me pregunto cómo será el panorama de las pruebas del teorema de desingularización de Hironaka.

¿Hay muchas pruebas en la literatura?

¿Existe una prueba más simple y comúnmente aceptada que pueda ser considerada una lectura agradable para personas ajenas a geometría algebraica?

¿Seguiría siendo el manuscrito original de Hironaka?

Answer 1

Hay un artículo de Herwig Hauser en el Boletín de la AMS: El teorema de Hironaka sobre la resolución de singularidades (O: Una prueba que siempre quisimos entender) (Toro. Amer. Math. Soc. 40 (2003), 323-403 )

que pretende ofrecer un relato accesible (aunque debo admitir que no leí la mayor parte).

Mircea Mustata también impartió un curso de 5 conferencias en la escuela de verano de Park City de 2008. No demostró todos los hechos que necesitaba, pero las conferencias contenían todas las ideas relevantes. Si no recuerdo mal, la idea principal era encontrar los invariantes correctos para las variedades (creo que tiene algo que ver con los ideales multiplicadores, pero podría estar equivocado) y simplemente mostrar que uno puede hacer los invariantes "más pequeños" eligiendo las ampliaciones correctas para hacer en cada paso. Que alguien me corrija si me equivoco, por favor. No sé si esos apuntes se pueden descargar en algún sitio, pero aparecerán en las actas de la escuela de verano.

Por lo que me han informado, la prueba original de Hironaka es extremadamente difícil de entender.

Answer 2

Puede que estés buscando el libro de Kollar Conferencias sobre resolución de singularidades

Answer 3

Durante mucho tiempo, el artículo de Hironaka fue probablemente la referencia canónica. A finales de los 90 empezaron a aparecer nuevas pruebas que cambiaron realmente la percepción del problema. La motivación era hacer la demostración de Hironaka más constructiva y, en última instancia, hacerla abordable mediante álgebra computacional. Así lo hicieron Schicho y Bodnar en Arce (proyecto de diseño) . (Por supuesto, la complejidad es atroz, pero aún así permite ejecutar ejemplos más allá de lo que uno podría hacer razonablemente a mano).

Dos grupos principales trabajaron en ello a finales de los 90, y ya se ha hecho referencia a ellos en las respuestas anteriores: Bierstone-Milman por un lado, y Encinas-Villamayor y quizás un par de otros por otro (abarcando muchos trabajos). En 2000-2001 se celebró un seminario de un año de duración en Purdue, dirigido por Kenji Matsuki y Andrei Gabrielov, para analizar la prueba de Encinas-Villamayor. Fue una oportunidad para aclarar bastantes cosas en la construcción, y Matsuki publicó sus notas (128 p.) en Arxiv .

En última instancia, esto llevó a Jaroslaw Wlodarczyk a ofrecer la prueba de desingularización más corta (con diferencia, 24 páginas frente a las más de 100 de todos los demás) .

Jaroslaw Wlodarczyk
Resolución Hironaka simple en la característica cero.
J. Amer. Math. Soc. 18 (2005), no. 4, 779--822
Arxiv

Espero que te sirva de ayuda. (Lo siento por el retraso en mi respuesta, sólo se unió a MO último fin de semana).

(Añadido más tarde) ¿Cómo podría olvidarlo? También hay un bonito documento expositivo que abarca todos estos avances. Debería ser muy útil para alguien que intente comprender cómo encajan los distintos trabajos (aunque es anterior al artículo de Wlodarczyk).

H. Hauser
El teorema de Hironaka sobre la resolución de singularidades (o: Una prueba que siempre quisimos entender).
Toros. Amer. Math. Soc. (N.S.) 40 (2003), no. 3, 323--403

Answer 4

Hay algunas pruebas muy breves de resolución utilizando geometría tórica y la idea de de Jong de reducción semiestable de curvas que son independientes del trabajo de Hironaka. Estas pruebas parecen ser ignoradas en gran medida por la comunidad de resolución, posiblemente porque no está claro que las resoluciones que producen tienen varias propiedades agradables tales como functorialidad para morfismos suaves.

Véase
Suavidad, semiestabilidad y geometría toroidal por Dan Abramovich, Johan de Jong
Teorema débil de Hironaka por Fedor Bogomolov, Tony Pantev
para un par de pruebas de 10 páginas que utilizan estas ideas (aunque ambas pruebas asumen resultados profundos sobre la reducción semiestable y la geometría tórica, por lo que tal vez la corta longitud sea un poco engañosa).

Answer 5

También está el libro de Dale Cutkosky, Resolución de singularidades .

Más en línea con la cuestión principal, señalaré que Bierstone y Milman han "Una sencilla prueba constructiva de la Resolución Canónica de Singularidades". que puede ser simple o no, pero sin duda es constructiva, a diferencia de la de Hironaka.