Problema de palabras con tasas de crecimiento.

Question

Tengo un problema de palabras sobre tasas de crecimiento. ¿Te importaría revisar mi trabajo?

Un cultivo bacteriano contiene inicialmente $100$ y crece a un ritmo proporcional a su tamaño. Al cabo de una hora, la población ha aumentado a $420$ .

(a) Encuentre una expresión para el número de bacterias después de $t$ horas.
(b) Hallar el número de bacterias después de $3$ horas.
(c) Hallar la tasa de crecimiento después de $3$ horas.
(d) ¿Cuándo alcanzará la población $10,000$ ?

Así que...

a) $P(0) = 100$ y $P(1) = 420$

$$P(t) = 100 \cdot e^{kt}$$ $$e^k = 4.2$$ $$k = \ln(4.2)$$ Así es el modelo: $$P(t) = 100 \cdot e^{\ln(4.2) \cdot t}$$

¿Es correcto?

b) $p(3) = 100 \cdot e^{\ln(4.2) \cdot 3} = 7408.8$

c) ¿Cuál es la derivada en $p(3)$ ? Tengo problemas con c y d. Supongo que para c Puedo hacer

$$7408.8 \cdot 4.2$$ porque supongo que ésta es la definición. Pero, ¿por qué?

Answer 1

Tenga en cuenta que

$$P(t) = 100 \cdot e^{ln(4.2) \cdot t}\implies P'(t) = 100 \cdot e^{ln(4.2) \cdot t}\cdot \ln4.2=k\cdot P(t)$$

así

$$P'(3) = 100 \cdot e^{ln(4.2) \cdot 3}\cdot \ln4.2$$

en efecto, se aplica la siguiente regla de derivación

$$f(t)=e^{g(t)}\implies f'(t)=e^{g(t)}\cdot g'(t)$$

Answer 2

Has podido convertir la pregunta 1. en la fórmula correcta $$p(t)=100\cdot e^{kt}$$ en un chasquido de dedos, no intentes decirme que tienes problemas con (c).

La derivada de lo anterior es $p'(t)=k\cdot p(t)$ porque ese era el requisito recuerda:

crece a un ritmo proporcional a su tamaño

Por lo tanto, no se multiplican $p(3)$ por $4.2$ sino por $k=\ln(4.2)$ para obtener la tasa de crecimiento.