medidas equivalentes, ¿puede ser una finita y otra no?

Question

Sea $\mu$ sea una medida no negativa y definida por Borel sobre $\mathbb{R}$ y $\nu$ una medida no negativa sobre $\mathbb{R}$ . Si $\mu$ y $\nu$ son equivalentes (una absolutamente continua con respecto a la otra) ¿es cierto que incluso $\nu$ es Borel-finito.

Answer 1

El otro ejemplo que se ve a menudo. Medida de Lebesgue en la recta real, y la medida normalizada de Gauss $$ \gamma(E) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_E \exp(-x^2/2)\;dx $$ Estas dos medidas son absolutamente continuas entre sí.

Answer 2

Tomemos una serie convergente de números positivos. Se puede convertir en una medida sobre el conjunto de potencias de los números naturales que sea equivalente a la medida de contaje. Ambas medidas pueden extenderse fácilmente a todos los $\mathbb{R}$ con el Borel $\sigma$ -álgebra.