Supongamos que tengo dos variedades afines sobre $\mathbb{C}$ , digamos $V_1 = V(f_1, f_2)$ y $V_2 = V(g_1, g_2)$ . ¿Hay algo que podamos decir sobre la dimensión de $V(f_1 + g_1, f_2 + g_2 )$ en función de las dimensiones de $V_1$ y $V_2$ ? Muchas gracias.
Respuesta
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Sea $V(f) = V(f_1, \dots, f_m)$ , $V(g) = V(g_1, \dots, g_m)$ y $V(f + g) = V(f_1 + g_1, \dots, f_m + g_m)$ .
Si $x \in V(f)\cap V(g)$ entonces $f_1(x) = \dots = f_m(x) = g_1(x) = \dots = g_m(x) = 0$ por lo que para cada $i$ ,
$$(f_i + g_i)(x) = f_i(x) + g_i(x) = 0 + 0 = 0$$
y por lo tanto $x \in V(f + g)$ . Por lo tanto $V(f)\cap V(g) \subseteq V(f+g)$ así que
$$\dim V(f + g) \geq \dim(V(f)\cap V(g)).$$
Esta desigualdad dista mucho de ser óptima en general. Por ejemplo, tomemos $f_1 = \dots = f_m = 1$ y $g_1 = \dots = g_m = -1$ en $\mathbb{C}^n$ entonces $V(f + g) = V(0, \dots, 0) = \mathbb{C}^n$ y $V(f) = V(g) = \emptyset$ . La desigualdad correspondiente $$n = \dim \mathbb{C}^n \geq \dim\emptyset = 0$$ no es tan útil.
