¿Se cumple la desigualdad de Holder para lo siguiente?

Question

Posiblemente sea una pregunta básica, pero no es realmente mi área. Supongamos que $f,g\in L^2(X,\mu)$ para algún espacio de medidas de probabilidad $(X,\mu)$ . Escribamos $f=(f_1,f_2)^T:X\to \mathbb{R}^2$ y lo mismo para $g$ . Nota $fg^T$ define un $2\times 2$ matriz. Si equipamos tales matrices con la norma del operador (o la norma de Frobenius), podemos decir que $\|fg^T\|_=\int_X \|fg^T\|_{op}\, d\mu\le \|f\|_2\|g\|_2$ ? O incluso $\le C\|f\|_2\|g\|_2$ para alguna constante independiente de $f$ y $g$ ?

Obviamente, si se cumple para una norma en las matrices de 2 por 2, entonces se cumple para todas las normas, ya que son equivalentes.

Gracias.

Edito: Creo que definitivamente se cumple ya que se trata de un espacio de Bochner con valores en un espacio de dimensión finita (de ahí Banach). ¡Pero una prueba directa sería bueno!

Answer 1

Explícitamente, $$ (fg^T)_{ij} = f_i g_j.$$ Elija como norma el $d\times d$ matrices $$ \pmb\|(a_{ij})_{i,j}\pmb\|_1 = \sum_{i,j=1}^d |a_{ij}|.$$ Entonces, como para cada $i,j$ , $$ \int |f_i g_j| d\mu \le \|f_i\|_{L^2}\|g_j\|_{L^2},$$ Suma en $i,j$ tenemos $$ \int \pmb\| fg^T\pmb\|_1 d\mu \le \sum_{i,j=1}^d \|f_i\|_{L^2}\|g_j\|_{L^2} = \sum_{i=1}^d\|f_i\|_{L^2} \sum_{j=1}^d\|g_j\|_{L^2} \le d \|f\|_{L^2}\|g\|_{L^2} $$ utilizando la desigualdad $\|(a_1,\dots, a_d)\|_{\ell^1} \le \sqrt{d} \|(a_1,\dots, a_d)\|_{\ell^2} $ dos veces.