Probabilidad de un número par de aciertos en una serie de ensayos independientes

Question

Consideremos una serie de ensayos independientes en cada uno de los cuales hay un éxito de un fracaso con probabilidades $p$ y $1-p$ respectivamente. Me resulta difícil deducir la probabilidad de que se produzca un número par de aciertos en la enésima prueba. Cualquier ayuda será muy apreciada. Gracias

Answer 1

Inducción al uso. Si $P_n$ es la probabilidad de un número par de aciertos en n ensayos, entonces

$$ P_n = p(1-P_{n-1}) + (1-p)P_{n-1}$$

El resultado es

$$ P_n = \frac{1+(1-2p)^n}{2}$$

Answer 2

La función generadora de la probabilidad de éxito en $n$ ensayos es $$f(x) = (1-p+px)^n$$ La función generadora para los casos en los que el número de aciertos es par es $$\frac{f(x) + f(-x)}{2}$$ Para hallar la probabilidad total de éxito en un número par de ensayos, basta con establecer $x=1$ en la función generadora: $$\frac{f(1) + f(-1)}{2} = \frac{1 + (1-2p)^n}{2}$$

Answer 3

Como esto sigue una distribución binomial, su probabilidad de un número determinado de aciertos $s$ es $$\binom{n}{s}p^s(1-p)^{n-s}$$

Así que usted podría tomar $$\sum_{s=0}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}\binom{n}{2s}p^{2s}(1-p)^{n-2s}$$