Expectativas y linealidad

Question

Sea $X$ sea una variable aleatoria no negativa y defina $A_i:=\{i-1\le X < i\}$ para cada $i$ . He demostrado que $$\sum_i(i-1) I_{A_i}\le X <\sum_i iI_{A_i}$$ se sostiene, pero tengo problemas para demostrar que implica $$\sum_iP(X\ge i)\le EX < 1+\sum_i P(X\ge i).$$ Pensaba que era inmediato aplicando la expectativa (que es un operador monotónico) a cada desigualdad, pero no puedo usar la linealidad ya que la suma es infinita.

¿De qué otra forma puedo hacerlo?

Answer 1

Una prueba que no utiliza la teoría de la medida es la siguiente:

Defina $Y = \sum_{i\in\mathbb{N}} (i-1) I_{A_i}$ . Se trata de una variable aleatoria discreta con distribución de probabilidad $\mathbb{P}(Y = k) = \mathbb{P}(A_{k+1})$ utilizando ese $B$ con $B_i=[i-1,i)$ es una partición de $[0,\infty)$ .

Por lo tanto, utilizando de nuevo que $B$ es una partición, \begin{align*} \mathbb{E}Y &= \sum_{k \in \mathbb{N}} k \mathbb{P}(A_{k+1}) \\ &= \sum_{k \in \mathbb{N}} \sum_{i=1}^k \mathbb{P}(X \in B_{k+1}) \\ &= \sum_{i \in \mathbb{N}} \sum_{k=i}^\infty \mathbb{P}(X \in B_{k+1}) \\ &= \sum_{i \in \mathbb{N}} \mathbb{P}(X \geq i). \end{align*} Se pueden aplicar argumentos similares para el lado derecho. Recopilando, esto establece el resultado.

Answer 2

No tengo suficientes puntos para comentar, así que escribo esto como respuesta aunque no lo sea. Hay un problema con su desigualdad porque para X con valores enteros: $$ \mathbb{E} X = \sum_i \mathbb{P}(X \geq i) $$

(Véase Wikipedia para una prueba).