Dada una matriz, hallar una matriz que satisfaga

Question

Sea A una matriz (3x4) Demostrar que no existe una matriz X que satisfaga

$$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 2 & -1 \\ \end{pmatrix}X = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix} $$

Cuando intento realizar una eliminación gaussiana para obtener la forma reducida de A, siempre obtengo una fila de ceros, por ejemplo

\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 2 & -1 \\ \end{pmatrix}

$$ R_3 - R_1 \to R_3 $$

Recibo

\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}

¿Qué puedo concluir del hecho de que tengo una fila de ceros?

¿Ayuda esto a resolver el problema?

Answer 1

Las filas del LHS vendrán dadas por las filas de $A$ multiplicado por $X$ . Dado que la primera y tercera filas de $A$ son iguales, la primera y la tercera fila del producto serán iguales. Por lo tanto, el producto no puede ser igual a la RHS.

Answer 2

Se puede argumentar por contradicción, utilizando la relación $$\text{rank}(AB) \le \text{min}(\text{rang}(A),\text{rang}(B))$$

con $A= \begin{pmatrix}1 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 2 & -1 \\ \end{pmatrix}$ y $B:=X$ a $4\times 3$ matriz con $\text{rank}(X)\le 3$ .

Desde entonces

$$\text{rank}(AX) \le \text{min}(\text{rang}(A),\text{rank}(X)) \le \text{min}(2,3)=2,$$

mientras que $\text{rank}\left(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix} \right)=3,$ ya que el determinante de la última matriz es diferente de $0$ .

Answer 3

Sugerencia : que exista $X_{4 \times 3}$ matriz satisfiy la equaltiy luego hacer una contradicción whit entradas de $X$

Answer 4

En este caso concreto, quizá sería más fácil entender lo que está ocurriendo. columna operaciones elementales:

$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 2 & -1 \\ \end{pmatrix}\stackrel{C_2-C_1\,,\,\,C_3-2C_1\,,\,C_4+C_1}\longrightarrow\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}\stackrel{C_3-\frac12C_2\,,\,C_4-\frac32C_2}\longrightarrow$$

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$$

Lo anterior significa que

$$\begin{align}&C_3-2C_1-\frac12(C_2-C_1)=0\implies &C_3=\frac32C_1+\frac12C_2\\ &C_4+C_1-\frac32(C_2-C_1)=0\implies &C_4=-\frac52C_1+\frac32C_2\end{align}$$

y lo anterior significa que cualquier vector $\;(x_\;x_2\;x_3\;x_4)^t\;$ a imagen de $\;A\;$ tiene para cumplir las mismas relaciones que se muestran, es decir:

$$\begin{align}&x_3=\;\;\;\,\frac32x_1+\frac12x_2\\&x_4=-\frac52x_1+\frac34x_2\end{align}$$

Ahora bien, ¿cumple esto tu matriz del lado derecho (formada con tres vectores fila (columna))?

Answer 5

Ha demostrado que el rango de su $3\times 4$ matriz es sólo (como máximo) $~2$ (ya que sólo quedan dos filas distintas de cero). Por otra parte, su $3\times 3$ es invertible (cálculo sencillo), por lo que tiene rango $~3$ . Un producto matricial $AB$ no puede tener un rango mayor que el rango de $A$ o $B$ lo que demuestra que no existe tal matriz $X$ existe.