Conjunto de puntos densa en el subconjunto de cuatro dimensiones del espacio

Question

Podemos suponer que el siguiente teorema:

Teorema: Un número real $\lambda$ es irracional si el conjunto de $\{m+\lambda n\mid m,n\in\mathbb{Z}\}$ es un subconjunto denso de $\mathbb{R}$.

Considere la situación siguiente:

Deje $S^1$ ser la unidad de la esfera de $x_1^2+x_2^2=1$ $\mathbb{R}^2$ y deje $X=S^1\times S^1\in\mathbb{R}^4$ con la definición de las ecuaciones de $f_1=x_1^2+x_2^2-1=0, f_2=x_3^2+x_4^2-1=0$. El campo de vectores $$w=x_1\frac\partial{\partial x_2}-x_2\frac\partial{\partial x_1}+\lambda\left(x_4\frac\partial{\partial x_3}-x_3\frac\partial{\partial x_4}\right)$$ ($\lambda\in\mathbb{R}$) is tangent to $X$ and hence defines by restriction a vector field $v$ on $X$. Suppose $\lambda$ is irrational. Prove that for every integral curve $\gamma(t)$ $( -\infty<t<\infty)$ of $v$, the set of points on this curve is a dense subset of $X$.

Yo calcula la integral de la curva a ser $$\gamma(t)=(a\cos t+b\sin t, a\sin t-b\cos t, c\cos(\lambda t)+d\sin(\lambda t), -c\sin(\lambda t)+d\cos(\lambda t))$$ for some constants $a,b,c,d$ where $a^2+b^2=c^2+d^2=1$.

¿Por qué se debe estos puntos ser denso en $X$?

Answer 1

Supongamos primero que $a = c = 1$$b = d = 0$. La correspondiente curva integral es $$ \gamma_0(t) = \bigl(\cos t, \sen t, \cos(\lambda t), -\sin(\lambda t)\bigr). $$ Fijar un número real $t_0$ arbitrariamente, y considerar la imagen de $t_0 + 2\pi \mathbf{Z}$, es decir, el conjunto de puntos de la forma $$ \gamma_0(t_0 + 2\pi k) = \bigl(\cos t_0, \pecado t_0, \cos(\lambda t_0 + 2\pi k\lambda), -\sin(\lambda t_0 + 2\pi k\lambda)\bigr)\quad\text{para algún entero $k$}. $$ Este conjunto se compone de todas las imágenes de el punto de $\bigl(\cos t_0, \sin t_0, \cos(\lambda t_0), -\sin(\lambda t_0)\bigr)$ bajo de rotación (en el segundo círculo factor) por múltiplos de $\lambda$ vueltas completas; desde $\lambda$ es irracional, este conjunto es denso en el círculo de $(\cos t_0, \sin t_0, x_3, x_4)$ por la declaró teorema.

Debido a la intersección de $\gamma_0(\mathbf{R})$ con un arbitrario círculo de $(\cos t_0, \sin t_0, x_3, x_4)$ es densa, $\gamma_0(\mathbf{R})$ es denso en el toro.

El caso general puede ser manejado mediante la selección de los números reales $\theta_1$ $\theta_2$ tal que $(a, -b) = (\cos\theta_1, \sin\theta_1)$$(c, -d) = (\cos\theta_2, \sin\theta_2)$, y teniendo en cuenta que su curva integral es $$ \gamma(t) = \bigl(\cos(t + \theta_1), \sin(t + \theta_1), \cos(\lambda t + \theta_2), -\sin(\lambda t + \theta_2)\bigr), $$ es decir, es la imagen de $\gamma_0$ bajo una traducción en el toro (ver el toro como un aditivo de grupo).