$F(x,y) = (x^2 +y^2,xy)$ . calcular $F^{∗}(u \, du+v \, dv)$

Question

Sea $F : \Bbb R^2 \Bbb R^2$ viene dada por Si $u$ , $v$ son las coordenadas estándar del objetivo $\Bbb R^2$ ,

calcula $F^{}(u \, du+v \, dv)$ .

$$F(x,y) = (x^2 +y^2,xy).$$

Estoy muy confundido. Conozco las proporciones relacionadas con la pregunta. Pero no puedo hacer. Estoy estudiando el examen. necesidad de aprender este tipo de preguntas. Gracias

Answer 1

La definición de $F^*$ es $F^*(\omega)_p (v_1\ldots v_n) = \omega_{F(p)}(dF(v_1)\ldots dF(v_n)$ . Lo que, en coordenadas locales significa $F^*(\omega)_p = \omega_I F d(y^I F)$ si $\omega = \omega_I dy^I$ .

En este caso tenemos $\omega = udu + vdv$ lo que significa $F^*(\omega) = u(x^2 + y^2,xy)d(u((x^2 + y^2,xy))) + v(x^2+y^2,xy) d(v((x^2+y^2,xy)))$ pero $u,v$ son sus coordenadas locales estándar en $\mathbb{R}^2$ lo que significa que $F^*(\omega) = x^2 d(x^2+y^2) + xy d(xy) = x^2 2x dx + x^2 2y dy + xy (ydx+xdy)= 2x^3 dx + 2y dy + xy^2dx + x^2y dy = (2x^3 + xy^2)dx + 3x^2y dy$ .

(Aunque no estoy totalmente seguro. Será mejor que alguien lo compruebe y me diga si algo está completamente mal, ya que nunca he tenido que hacer ningún ejercicio al respecto y sólo he tenido que trabajar "en general").