Cálculo del límite $ \lim_{n \to \infty} \frac{n}{4} \cdot \sin(4 \pi/n) $ .

Question

Me gustaría calcular $$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n}{4} \sin \left(\frac{4 \pi}{n} \right)$$

Es evidente que se trata de un límite del tipo $\infty \cdot 0$ por lo que estoy pensando que probablemente hay alguna manera de convertirlo en $\infty / \infty$ o $0 / 0 $ y luego utilizar L'Hopital pero no se me ocurre ningún truco de este tipo. Tampoco se me ocurre cómo hacerlo sin L'Hoptial. Gracias por cualquier aportación.

Answer 1

CONSEJO: Si puede demostrar que $$ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1, $$ entonces ya casi has terminado escribiendo $x=4/n$ y dejando $n\to \infty$ .

Answer 2

Puede utilizar el taylor de $\sin(4\pi/n)$ como sigue $$y=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots$$ $$y=\frac{4\pi}{n}-\frac{(4\pi)^3}{3!n^3}+\frac{(4\pi)^5}{5!n^5}+\cdots$$ así que $$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{n}{4}(\frac{4\pi}{n}-\frac{(4\pi)^3}{3!n^3}+\frac{(4\pi)^5}{5!n^5}+\cdots)=\pi$$

Answer 3

CONSEJO : Escribe tu expresión como $$\lim_{n\to\infty} \dfrac{\sin(\pi(4/n))}{4/n}$$ y aprovechar el hecho de que $$\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(ax)}{x} = a$$

Answer 4

Sabemos que $\sin \theta = \theta + \mathcal{O}(\theta^3)$ para $\theta \approx 0$ . Entonces se convierte en $\frac{n}{4}\frac{4\pi}{n} + \mathcal{O}(n^{-2})$ .

La notación O puede ser útil.