Cálculo explícito de la norma de la exponencial matricial para una matriz concreta

Question

Estoy interesado en el cálculo explícito de la siguiente norma

$$ |x| := \sup_{t \geq 0} \left\Vert \mathrm {e}^{-At}x \right\Vert_2,$$

$x = (x_1, x_2)^{\top} \in \mathbb{R}^n, A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ y $\Vert \cdot \Vert_2$ denota la norma euclidiana estándar. Concretamente para la matriz

$$ {A} := \begin{pmatrix} \frac{19}{20} & -\frac{3}{10} \\ \frac{3}{10} & -\frac{1}{20} \end{pmatrix}. $$

Esta matriz es obviamente no simétrica pero estable positiva, los valores propios son $\lambda_1 = 1/20$ y $\lambda_2 = 17/20.$ Para matrices simétricas y antisimétricas esta norma coincidiría con la norma euclidiana, pero no para esta matriz. Al calcular este problema, las expresiones se vuelven rápidamente muy intrincadas. Por lo que opté por la aproximación calculando explícitamente la exponencial de la matriz y su posterior maximización por diferenciación, lo que desgraciadamente conduce a una expresión irreprimible. Entonces, ¿existe una forma inteligente de calcular esta norma que conduzca a una expresión agradable?

Agradecería mucho cualquier ayuda.

EDIT: En este caso $$ \mathrm{e}^{-At} = \frac{1}{8} \left(\begin{array}{rr} -\mathrm{e}^{-\frac{1}{20} t} + 9\mathrm{e}^{-\frac{17}{20} t} & 3\mathrm{e}^{-\frac{1}{20} t} - 3\mathrm{e}^{-\frac{17}{20} t} \\ -3\mathrm{e}^{-\frac{1}{20} t} +3 \mathrm{e}^{-\frac{17}{20} t} & 9\mathrm{e}^{-\frac{1}{20} t} - \mathrm{e}^{-\frac{17}{20} t} \\ \end{array} \right). $$ Y $ \left \Vert \mathrm{e}^{-At} \left(\begin{array}{rr} x_1 \\ x_2 \end{array} \right) = \right \Vert_2 $ $$ =\frac{1}{8} \sqrt{\left((-\mathrm{e}^{-\frac{1}{20} t} + 9\mathrm{e}^{-\frac{17}{20} t})x_1 + (3\mathrm{e}^{-\frac{1}{20} t} - 3\mathrm{e}^{-\frac{17}{20} t})x_2 \right)^2 + \left((-3\mathrm{e}^{-\frac{1}{20} t} + 3\mathrm{e}^{-\frac{17}{20} t})x_1 + (9\mathrm{e}^{-\frac{1}{20} t} - \mathrm{e}^{-\frac{17}{20} t})x_2 \right)^2} $$ resulta bastante engorroso trabajar con él.

Answer 1

Sea $A$ sea una matriz de 2 por 2 con valores propios positivos $\lambda_1, \lambda_2$ . Dado $x \in \mathbb{R}^2$ existen vectores propios $v_1$ y $v_2$ tal que $$ x = v_1 + v_2. $$ Queremos maximizar \begin{align*} f(t) &= |e^{-At}x|^2\\ &= (e^{-At}x)\cdot(e^{-At}x) \end{align*} para $t \ge 0$ . Diferenciando, obtenemos \begin{align*} f'(t) &= -2(e^{-At}x)\cdot A(e^{-At}x)\\ &= -2(e^{-\lambda_1t}v_1 + e^{-\lambda_2t}v_2)\cdot (\lambda_1e^{-\lambda_1t}v_1 + \lambda_2e^{-\lambda_2t}v_2)\\ &= -2(\lambda_1e^{-2\lambda_1t}|v_1|^2 + \lambda_2e^{-2\lambda_2t}|v_2|^2 + (\lambda_1+\lambda_2)e^{-(\lambda_1+\lambda_2)t}v_1\cdot v_2). \end{align*} Por lo tanto, si fijamos $$ \alpha = e^{(\lambda_2-\lambda_1)t}, $$ entonces \begin{align*} -\frac{1}{2}e^{(\lambda_1+\lambda_2)t}f'(t) &= \lambda_1|v_1|^2e^{(\lambda_2-\lambda_1)t} + \lambda_2|v_2|^2e^{(\lambda_1-\lambda_2)t} + (\lambda_1+\lambda_2)v_1\cdot v_2\\ &= \lambda_1|v_1|^2 \alpha + \lambda_2|v_2|^2\alpha^{-1} + (\lambda_1+\lambda_2)v_1\cdot v_2\\ &= \frac{\lambda_1|v_1|^2\alpha^2 + (\lambda_1+\lambda_2)(v_1\cdot v_2)\alpha + \lambda_2|v_2|^2}{\alpha}. \end{align*} Sólo es cero si \begin{align*} \alpha &= \frac{-(\lambda_1+\lambda_2)(v_1\cdot v_2) \pm \sqrt{(\lambda_1+\lambda_2)^2(v_1\cdot v_2)^2 - 4\lambda_1|v_1|^2\lambda_2|v_2|^2}}{2\lambda_1|v_1|^2}\\ &= \frac{(\lambda_1+\lambda_2)|v_1||v_2|}{2\lambda_1|v_1|^2} \left(-\frac{v_1\cdot v_2}{|v_1||v_2|} \pm \sqrt{\frac{(v_1\cdot v_2)^2}{|v_1|^2|v_2|^2} - \frac{4\lambda_1\lambda_2}{(\lambda_1+\lambda_2)^2}}\right) \end{align*} Sea $$ \beta = \frac{2\sqrt{\lambda_1\lambda_2}}{\lambda_1+\lambda_2} $$ et $\theta$ sea el ángulo desde $v_1$ à $v_2$ es decir, $$ \cos\theta = \frac{v_1\cdot v_2}{|v_1||v_2|}. $$ Observe que $\cos\theta$ es independiente de $x$ . La fórmula para $\alpha$ se convierte en $$ \alpha = \frac{(\lambda_1+\lambda_2)|v_1||v_2|}{2\lambda_1|v_1|^2}(-\cos\theta \pm \sqrt{(\cos\theta)^2-\beta^2}). $$ De ello podemos extraer las siguientes conclusiones, que dependen únicamente de la matriz $A$ :

1. Si $$ \cos\theta \ge \beta, $$ entonces las soluciones son negativas y por lo tanto $f$ no tiene puntos críticos para $t \ge 0$ . El máximo de $f$ está en $t = 0$ .
2. Si $$ -\beta < \cos\theta < \beta, $$ entonces no hay soluciones y por lo tanto $f$ no tiene puntos críticos. El máximo de $f$ está en $t = 0$ .
3. Si $$ \cos\theta < -\beta, $$ hay dos soluciones y ambas son positivas.
4. Si $$ \cos\theta = -\beta, $$ entonces hay una solución positiva.

En los dos últimos casos, se puede comprobar si $\alpha$ es una solución, $$ t = \frac{\log \alpha}{\lambda_2-\lambda_1} > 0 $$ et $f(t) > f(0)$ . Sólo en la última desigualdad el valor de $x$ asuntos.

En su ejemplo concreto, $$ \cos\theta = \frac{3}{5} > \beta = \frac{\sqrt{17}}{9}, $$ y, por tanto, el máximo se produce en $t = 0$ y es igual a $f(0) = |x|$ .

Answer 2

$ \def\l{\sigma}\def\s{\lambda} \def\LR#1{\left(#1\right)} \def\sym#1{\operatorname{sym}\LR{#1}} \def\skew#1{\operatorname{skew}\LR{#1}} \def\trace#1{\operatorname{trace}\LR{#1}} \def\qiq{\quad\implies\quad} \def\p{\partial} \def\grad#1#2{\frac{\p #1}{\p #2}} \def\dgrad#1#2{\frac{d#1}{d#2}} \def\m#1{\left[\begin{array}{r}#1\end{array}\right]} \def\c#1{\color{red}{#1}} \def\CLR#1{\c{\LR{#1}}} \def\fracLR#1#2{\LR{\frac{#1}{#2}}} $ Por conveniencia tipográfica, definamos las siguientes variables y sus derivadas con respecto a $t$ $$\eqalign{ E &= \exp(-At) &\qiq \dot E = -AE \\ w &= Ex &\qiq \dot w = -AEx = -Aw \\ }$$ Elevar al cuadrado la función objetivo $(\l)$ y calcular su derivada $$\eqalign{ \l^2 &= |x|^2 = \|Ex\|^2_2 = w^Tw \\ 2\l\;\dot\l &= 2w^T\dot w = -2w^TAw \\ \dot\l &= -\fracLR{w^TAw}{\l} \\ \frac{\l}{\dot\l} &= -\fracLR{\l^2}{w^TAw}= -\fracLR{w^Tw}{w^TAw} \\ }$$ Utiliza esta derivada con el método de Newton para numéricamente calcular el máximo de $\l$ . Las iteraciones son complicadas ya que el denominador va a cero cerca de la solución, por lo que la longitud de paso $\s_k$ debe ser muy pequeño para evitar divergencias. $$\eqalign{ w_{k} &= \exp(-At_k)\,x \\ t_{k+1} &= t_k - \s_k\fracLR{w_k^Tw_k}{w_k^TAw_k} \\ }$$