Demuestre que el radio espectral es una función semicontinua superior

Question

Estoy atascado en un problema de Conway's A course in a Análisis funcional . ¿Alguien puede darme una pista para resolver el problema?

La pregunta es "Si $A$ es un Álgebra de Banach, entonces demuestre que la función $r:A\to R$ definido por $r(a)=$ radio espectral de $a,$ es una función semicontinua superior".

Recordemos que el radio espectral de $a,$ $r(a):=\sup\{|c|:c\in\mbox{ spectrum of } a\}$ .

Answer 1

Supongamos que $r$ no es semicontinuo superior en $a$ . Entonces podemos encontrar una secuencia $\{a_n\}\subset A$ convergiendo hacia $a$ tal que $\limsup_{n\to +\infty}r(a_n)>r(a)$ . Por lo tanto, existe un $\delta>0$ y una subsecuencia $\{b_k\}$ de $\{a_n\}$ tal que $r(b_k)\geq r(a)+2\delta$ . Así, para cada $k$ , dejemos que $\lambda_k$ en el espectro de $b_k$ tal que $|\lambda_k|\geq r(a)+\delta$ . En $\{b_k\}$ está acotada, la secuencia $\{\lambda_k\}$ de los números complejos está acotada. Así que extraemos una subsecuencia convergente (pero la denotaremos de la misma manera para simple).

Entonces $\{b_k-\lambda_k e\}$ no es invertible y converge a $a-\lambda e$ . No es invertible, ya que el conjunto de elementos invertibles de $A$ está abierto. Así que $\lambda\in \sigma(a)$ . Pero $|\lambda|\geq r(a)+\delta$ una contradicción.