¿Cuáles son las categorías correctas de los espacios de Banach de dimensión finita?

Question

Esto se inspira en parte en esta pregunta especialmente la respuesta de Tom Leinster.

Permítanme comenzar con algunos antecedentes. Pido disculpas por ser bastante largo, ya que espero la opinión de personas que probablemente no sepan mucho de lo siguiente.

Clásicamente, hay dos categorías obvias cuyos objetos son espacios de Banach (digamos que todos los espacios de Banach son reales para simplificar): en la primera, los morfismos son mapas lineales acotados y los isomorfismos son exactamente lo que se suele llamar isomorfismos de espacios de Banach; en la segunda, los morfismos son contracciones lineales (mapas lineales acotados con norma a lo sumo 1) y los isomorfismos son isometrías lineales. Estas categorías distinguen entre las teorías "isomórfica" e "isométrica" de los espacios de Banach.

Ahora bien, si me interesan los espacios finito-dimensionales, entonces la categoría "isomórfica" no es lo bastante rígida, porque dos espacios de Banach n-dimensionales cualesquiera son isomórficos. Pero la categoría isométrica es demasiado rígida para la mayoría de los propósitos. Así que nos volvemos más cuantitativos sobre nuestros isomorfismos. Una forma de hacerlo es con la distancia Banach-Mazur. Si X e Y son espacios de Banach n-dimensionales, $$d(X,Y) = \inf_T (\lVert T \rVert \lVert T^{-1} \rVert),$$ donde el ínfimo es sobre todos los isomorfismos lineales $T:X\to Y$ . Entonces $\log d$ es una métrica en la clase de clases de isometría de espacios de Banach n-dimensionales.

Los teoremas sobre espacios de dimensión arbitraria que incluyen algunas constantes independientes de la dimensión se caracterizan como "resultados isomórficos". Un ejemplo es el teorema de Kashin: Existe una constante c>0 tal que para cada n, $\ell_1^n$ tiene un subespacio X con $\dim X = m= \lfloor n/2 \rfloor$ tal que $d(X,\ell_2^m) < c$ . (Aquí $\ell_p^n$ denota R^n con la $\ell_p$ norma $\lVert x \rVert_p = (\sum |x_i|^p)^{1/p}$ .) Así $\ell_1^n$ contiene un subespacio de n/2 dimensiones isomorfo al espacio de Hilbert de forma independiente de la dimensión.

Por otra parte, existen resultados "casi isométricos", tipificados por el teorema de Dvoretzky: Existe una función $f$ tal que para cada espacio de Banach n-dimensional X y cada $\varepsilon > 0$ X tiene un subespacio Y con $\dim Y = m \ge f(\varepsilon) \log (n+1)$ tal que $d(Y,\ell_2^m) < 1+\varepsilon$ . Así, cualquier espacio contiene subespacios, de dimensión no demasiado pequeña, que están arbitrariamente cerca de ser espacios isométricamente de Hilbert.

Así que mi pregunta, finalmente, es: ¿existen categorías naturales en las que interpretar tales resultados? Supongo que los objetos no deberían ser espacios individuales, sino secuencias de espacios con dimensiones crecientes. En particular, como ponen de relieve los dos resultados citados, la secuencia de espacios de Hilbert n-dimensionales $\ell_2^n$ debe desempeñar un papel destacado. Pero no tengo ni idea de cuáles deberían ser los morfismos para acomodar el control cuantitativo sobre las normas de estas maneras.

Answer 1

Se trata de una reformulación de la respuesta de Mateo, pero se puede utilizar un análisis no estándar para obtener una categoría que consiga lo que quiere Marcos. Después de tomar ultrapoderes, se obtienen enteros no estándar (ultralímites de enteros estándar), espacios de Banach de dimensión finita no estándar (ultralímites de espacios de Banach de dimensión finita estándar), transformaciones lineales no estándar (ultralímites de transformaciones lineales estándar), etc. A continuación, se pueden separar estos objetos no estándar en varias clases, por ejemplo, reales no estándar acotados (ultralímites de reales estándar uniformemente acotados o, equivalentemente, reales no estándar cuya magnitud está acotada por un real estándar), transformaciones lineales no estándar acotadas, transformaciones lineales no estándar poli(n)-acotadas, transformaciones lineales no estándar polilog(n)-acotadas, etc., donde n es un número natural no estándar no acotado (que, en la práctica, se utilizaría para acotar las dimensiones de las cosas). Cada una de ellas forma una categoría.

Así, por ejemplo, el teorema de Kashin se convierte en la afirmación de que todo espacio de Banach no estándar de alguna dimensión finita no estándar N tiene un subespacio de dimensión M que es isomorfo (en la categoría de transformaciones lineales no estándar acotadas) a $\ell^2(M)$ siempre que $M \leq N/2$ (o más generalmente cuando $M \leq (1-\epsilon)N$ para alguna norma $\epsilon > 0$ .

El teorema de Dvoretsky es más complicado. En este caso, supongo que hay que trabajar con la categoría de las casi contracciones: operadores cuya norma de operador es como máximo $1+o(1)$ (es decir, limitado por $1+\epsilon$ para cada norma $\epsilon > 0$ . Entonces creo que el teorema dice que cualquier espacio de Banach no estándar de dimensión finita con alguna dimensión no estándar N tiene un subespacio de dimensión M que es casi isométrico a $\ell^2(M)$ Siempre que $M = o(\log N)$ . (Puede que me haya equivocado un poco con los cuantificadores, pero esto se aproxima bastante a lo que debería ser la traducción no estándar de las cosas).

Answer 2

La mejor solución que se me ocurre es una que los analistas ya han adoptado: Utilizar la categoría de mapas lineales, pero enriqueciendo la categoría sobre sí misma. En otras palabras, hacer $\mathrm{Hom}(X,Y)$ en un espacio de Banach utilizando también la norma del operador. Entonces no es tan malo que todos $n$ -son isomorfos. Dado que los isomorfismos tienen normas en sí mismos, se puede preguntar qué tan bien son isomorfos.

En sentido estricto, no se puede enriquecer una categoría sobre sí misma, porque es circular. Sin embargo, hay una forma de evitarlo en la teoría de categorías; el autoenriquecimiento se llama "Hom interna" y hay axiomas para ello. Está estrechamente relacionado con convertir la categoría en una categoría tensorial, y los espacios de Banach finito-dimensionales también lo son.

Otra forma de decirlo es la siguiente: Una categoría en la que todo es isomorfo es un groupoide, más algunos mapas no invertibles. Esto puede parecer insatisfactorio. En $n$ -Los espacios bidimensionales de Banach son, en efecto, un groupoide, pero son un groupoide normado, lo que no está tan mal.

---

Vale, ese último párrafo es algo que Mark ya estaba diciendo, así que permítanme hacer un comentario ligeramente diferente. Organizar los objetos de estudio en una categoría es una especie de justificación. Si se trata de una categoría enriquecida, entonces es una justificación relativa: Los módulos de un álgebra son una categoría sobre la categoría de espacios vectoriales, así que los módulos se justifican en relación con los espacios vectoriales. (Y no sólo relativos a conjuntos en ese caso).

A veces la mejor justificación es una autojustificación, y eso es lo que hacen los homs internos por ti. Las categorías Set y Vect ya son así. Ya que en la categoría de espacios de Banach, $\mathrm{Hom}(X,Y)$ también es un espacio de Banach, es una autojustificación con el mismo espíritu. Supongo que para captar completamente la idea, deberías introducir las álgebras de Banach y la multiplicación mixta entre espacios de Banach. La composición bilineal de $\mathrm{Hom}(X,Y)$ y $\mathrm{Hom}(Y,X)$ es lo que te dice lo cerca $X$ y $Y$ son a isométricos.

Answer 3

Un truco (razonablemente) estándar para convertir problemas de tipo limitante finito-dimensional en problemas unidimensionales infinitos es utilizar Ultraproductos (o cascos no estándar, si sabes más teoría de modelos que yo).

Sea $(E_i)$ sea una familia de espacios de Banach sobre un conjunto índice $I$ y que $\ell^\infty(I,E_i)$ sea el espacio de Banach de todos los delimitado familias $(x_i)_{i\in I}$ donde $x_i\in E_i$ . Sea $U$ sea un ultrafiltro no principal en $I$ y considere $N_U=\{ (x_i)\in\ell^\infty(I,E_i) : \lim_{i\rightarrow U} \|x_i\|=0 \}$ . Se trata de un subespacio cerrado, por lo que podemos formar el espacio de Banach cociente $\ell^\infty(I,E_i) / N_U$ . Este es el ultraproducto en el $(E_i)$ . Si $E_i=E$ para todos $i$ obtenemos un ultrapotencia de $E$ . (Si conoces los ultraproductos de la lógica, existen las definiciones "normadas" obvias).

Heinrich tiene un buen artículo en Crelles sobre esto. Por ejemplo, el teorema de Dvoretzky se convierte ahora en: para cualquier espacio de Banach de dimensión infinita $X$ todos los ultrapoderes de $X$ contienen una copia isométrica de $\ell^2$ . (Vale, he perdido algunas constantes).

Sin embargo, no sé muy bien cómo llevar esto a un contexto de teoría de categorías.