En el $n$ -se empieza con un conjunto genérico de hiperplanos y sus intersecciones, que puede ser una colección de $k$ -planos dimensionales. Un "axioma" es un conjunto de restricciones de incidencia que determina un hiperplano de reflexión único, o posiblemente un hiperplano de reflexión que es una solución aislada aunque no sea única. El espacio de hiperplanos disponibles también es $n$ -dimensional. Cada restricción de incidencia tiene una codimensión. Un conjunto de restricciones independientes constituye un axioma cuando sus codimensiones suman $n$ .
Es fácil escribir una simple restricción de incidencia sobre una reflexión $R$ y calcular su codimensión. Si $n=2$ entonces las restricciones simples son las siguientes:
- $R(L) = L$ para una línea $L$ ,
- $R(x) = x$ para un punto $x$ ,
- $R(x) \in L$ ,
- $R(L_1) = L_2$ y
- $R(x_1) = x_2$
Las tres primeras restricciones tienen codimensión 1 y las dos últimas codimensión 2. Formalmente hay 8 maneras de combinar estas restricciones para formar axiomas. Sin embargo, 1 no puede usarse dos veces en geometría euclídea, así que quedan otras 7. Estos son los siete axiomas enumerados en la página de Robert Lang. Resulta que a Huzita se le pasó combinar 1 y 3. Si pudiéramos hacer origami hiperbólico, tendríamos 8 axiomas.
Puede seguir el mismo razonamiento en $n=3$ dimensiones. Las restricciones simples pueden escribirse de nuevo:
- $R(x) = x$ para un punto $x$ (1)
- $R$ fija una línea $L$ puntualmente (2)
- $R(L) = L$ reflejándolo (2)
- $R(P) = P$ para un avión $P$ (1)
- $R(x) \in L$ (2)
- $R(x) \in P$ (1)
- $R(L) \subset P$ (2)
- $R(x_1) = x_2$ (3)
- $R(L_1) \cap L_2 \ne \emptyset$ (1)
- $R(P_1) = P_2$ (3)
He escrito las codimensiones de estas restricciones entre paréntesis. Como antes, puede combinar estas restricciones. Algunos pares, como 3 y 4, no pueden combinarse. Tampoco se puede utilizar 4 tres veces. Si haces todo esto correctamente, no es tan difícil hacer una lista de axiomas que se parezca a las de 2 dimensiones. (Posiblemente cometí un error en esta lista o se me pasó algo, pero no es difícil repasar esto correctamente).
Sin embargo, hay una posible sutileza que no sé cómo abordar. A saber, supongamos que usted hace alguna configuración complicada utilizando combinaciones de estas restricciones, al principio. ¿Puedes crear una configuración con la propiedad de que las codimensiones no se sumen sin más? Por ejemplo, normalmente no se puede utilizar la condición 7 dos veces para definir la reflexión $R$ porque la codimensión total es 4, que es demasiado grande. Sin embargo, si las líneas y los planos en esta condición están relacionados entre sí, ¿es la verdadera codimensión a veces 3? Yo supondría que sí. Si es así, entonces potencialmente tendrías que añadir axiomas de construcción "inestables" a la lista. Pero entonces no está claro si un axioma de construcción inestable es realmente necesario, o si un axioma inestable siempre puede ser sustituido por una secuencia de axiomas estables.
