En cuanto al universo, ¿"casi plano" no significa "no plano"?

Question

Si tiene la amabilidad de responder a mi pregunta, tenga en cuenta que mi formación no es en física, por lo que puede que necesite algunas correcciones para establecer el marco adecuado. Por otro lado, mi formación es en matemáticas, así que siéntase libre de incluir tecnicismos de esa naturaleza.

Hemos podido aproximarnos a la curvatura del universo observable midiendo triángulos con vértices cercanos a la frontera de nuestros límites de observación. También somos capaces de aproximar el error en estos cálculos, y los datos muestran que el universo observable es plano hasta un margen de error del 0,4%.

Primera pregunta: ¿Cuál es el valor que se mide aquí, teniendo este margen de error? ¿Cómo se define? Al principio pensé que sería la curvatura, pero no parece correcto. Después de todo, sólo obtenemos plano con curvatura en exactamente $0$ por lo que si se sabe que la curvatura está en un intervalo alrededor de $0$ , plano sería una única opción entre infinitos otros números (pequeños). Por ejemplo, una curvatura de $-0.00001$ seguiría siendo negativo, es decir, no plano, ¿verdad?

Independientemente de ello, el universo observable es "casi" plano. La cuestión más interesante para mí es si el universo general es plano, pero una propiedad bien conocida de una variedad lisa es que cualquier muestra suficientemente pequeña es "casi" plana. Sin embargo, según mi limitada búsqueda en Internet, tenemos una forma de decir si la planitud del universo general es o no determinable, observando nuestra planitud local. (Esto parece increíble, ¿lo he entendido bien?) Se reduce al parámetro de curvatura cosmológica, que aparentemente tiene algo que ver con la velocidad de expansión. Por ejemplo, Wikipedia afirma que "no podremos distinguir entre universo plano, abierto y cerrado si el verdadero valor del parámetro de curvatura cosmológica es menor que $10^{4}$ ."

Segunda pregunta : ¿Cuál es la definición del parámetro de curvatura cosmológica? ¿Es algo que podemos medir hasta cierto error acotado? ¿O es imposible siquiera aproximar dicho parámetro para el universo general, ya que sólo tenemos la parte observable con la que trabajar?

He agotado mis búsquedas en Internet para intentar responder a esta pregunta y sólo encuentro cosas que me dicen cómo interpretar el parámetro, no cómo se define o se calcula.

Answer 1

(Casi) duplicado de una respuesta que escribí anteriormente :

Las hipótesis de homogeneidad e isotropía conducen a la métrica FLRW para el universo, a saber : $$ds^2 = cdt^2 - a(t)^2\left [ \dfrac{dr^2}{1+kr^2/R^2}+r^2 d^2\Omega \right ]$$ donde $R$ es el radio de curvatura del universo y $k$ puede tomar los valores -1, 0 ó 1 para un universo esférico, plano o hiperbólico. Este resultado es una consecuencia directa del principio cosmológico.

Para deducir la relación entre estos parámetros y el contenido del universo, hay que aplicar las ecuaciones de Einstein. Se obtienen así las llamadas ecuaciones de Friedmann : $$\left\{\begin{matrix} \dot{a}^2-\dfrac{8 \pi G}{3c^2} \displaystyle \sum_i \rho_i a^2 & = & \dfrac{kc^2}{R^2} \\ \dfrac{d}{dt}\left ( \rho_i a^3 \right ) & = & -P_i \dfrac{d}{dt} \left (a^3 \right) \\ \end{matrix}\right.$$ Dónde $\rho_i$ y $P_i$ denotan la densidad de energía y la presión de cada componente del universo, cuyo comportamiento viene determinado por su ecuación de estado (p. ej. $P = 0$ para materia parecida al polvo, $P=\rho/3$ por radiación, $P=-\rho$ para la energía oscura).

El valor actual de $a$ es 1. Evaluando la primera ecuación en el momento actual $t_0$ y utilizando la definición de la constante de Hubble $H_0 = \dot{a}(t_0)/a(t_0) = \dot{a}(t_0)$ encontramos : $$H_0^2 - \dfrac{8 \pi G}{3c^2} \displaystyle \sum_i \rho_i = \dfrac{kc^2}{R^2}$$

Es conveniente definir la densidad crítica como $\rho_c = 3c^2 H_0^2/(8\pi G)$ de modo que :

$$\rho_c - \displaystyle \sum_i \rho_i = \dfrac{3c^2}{8 \pi G} \dfrac{kc^2}{R^2}$$

Este resultado significa que el universo es esférico si la densidad total de energía es superior a $\rho_c$ , plana si son iguales, e hiperbólica si la densidad total es menor. Así se relaciona la curvatura con el contenido del universo. Se puede ver que esto no depende de la distribución de la densidad (es decir, cuánto es energía oscura, cuánto es otra cosa) Una forma de cuantificar el alejamiento del universo de una geometría plana es evaluar el parámetro de densidad de curvatura $\Omega_k$ definido como :

\begin{equation} \Omega_k \equiv \dfrac{\rho_c-\rho}{\rho_c} \end{equation}

Pero esto también equivale, según las ecuaciones de Friedmann : \begin{equation} \Omega_k = \dfrac{kc^2}{H_0^2R^2} \end{equation}

Así que se puede interpretar en términos de diferencia relativa de densidad de energía frente a densidad de energía crítica (1ª expresión), o en términos geométricos (2ª expresión). Nótese que los tensores/escalares de curvatura o en $\mathcal{O}(1/R^2)$ .

Los límites más estrictos de $\Omega_k$ se obtienen mediante el análisis de las anisotropías del CMB y son compatibles con un universo plano ( $|\Omega_k| < 5 \times 10^{-3}$ , arXiv:1502.01589 ) pero existen otras formas de medir este parámetro utilizando velas estándar y reglas estándar.

Ahora, volviendo al título de tu pregunta. En física, como siempre, los parámetros continuos no pueden medirse con precisión infinita. Así que, en cierto modo, "casi plano" podría entenderse como "nuestras mediciones son compatibles con que sea plano". Además, si nos fijamos en la expresión para $\Omega_k$ se puede ver que es proporcional a $R_H^2/R^2$ donde $R_H = c/H_0$ es el radio de Hubble. El radio de Hubble indica más o menos el tamaño del universo visible. Así que una curvatura pequeña significa un radio de curvatura mucho mayor que el tamaño del universo visible. Si recuerdas que hasta hace poco el parámetro de curvatura era poco conocido (durante algún tiempo se pensó que era $\sim 10 \%$ ) entonces "casi plano" sólo enfatizaría la coincidencia de que $\rho$ y $\rho_c$ son al menos del mismo orden de magnitud. En la actualidad, el modelo estándar de cosmología (estándar $\Lambda$ CDM) incluye una época inflacionaria, que tiende a aplanar el espacio drásticamente, por lo que $\Omega_k$ se fija en 0 en este modelo por defecto (a veces expresado como $\Omega_M+\Omega_{\Lambda} = 1$ ).

Answer 2

Haré referencia a un puesto de bolsa de pilas sobre cosmología escribí. La ecuación de la energía que deduzco utilizando la mecánica newtoniana se modifica en la relatividad general a $$ \left(\frac{\dot a}{a}\right)^2 = H^2 = \frac{8\pi G\rho}{3} + \frac{k}{a^2}, $$ donde $k~=~0$ corresponde a un espacio plano para la cosmología. Para $k~=~1$ el colector espacial es esférico y cerrado y para $k~=~-1$ el colector espacial es hiperbólico y abierto. Lo curioso es que como el último término varía con el recíproco de la escala al cuadrado sus implicaciones físicas pueden ser muy sutiles. Para una cosmología grande o que se haya expandido durante un largo periodo de tiempo es muy difícil determinar la forma de la superficie espacial. Una esfera muy grande puede parecer localmente plana.