Propiedad de la distancia de un punto al centro y al foco de una hipérbola rectangular mediante números complejos

Question

Si P es un punto de la hipérbola cuyos ejes son iguales, demuestre que $S_2 P×S_1P=CP^2$ donde $C$ es el centro donde $S_1$ y $S_2$ son los focii

Problemas avanzados en JEE , Vikas Sharma alias Pink Book

Se me ocurrió enfocar esta pregunta utilizando números complejos, tomé mi ecuación de la hipérbola como $x^2 - y^2 = a^2$ entonces debe ser que los focii están en $(a\sqrt{2},0)$ y $(-a\sqrt{2},0)$ de ahí que queramos evaluar:

$$ d= | z-a \sqrt{2}| | z+a\sqrt{2}|= |z^2 - 2a^2| = |(x^2 -y^2-2a^2) + 2xiy|= |(x^2 -y^2) - 2xiy|$$

Ahora, el problema es que tengo que demostrar que la expresión final es igual a $|x+iy|$ pero no veo ninguna forma directa de hacerlo con álgebra. Tal vez pueda mostrarlo infundiendo geometría pero no veo cómo.

---

Una observación que hice, vemos que $xy$ es igual al doble del área del triángulo cuyos vértices son el centro, el punto y el pie de la perpendicular al eje x.

Answer 1

Me di cuenta después de hacer la observación del triángulo, vamos $d$ sea la distancia del origen al punto, entonces $x= d \cos \theta$ y $y = d \sin \theta$ al sustituirla por la expresión de longitud:

$$ |x^2 -y^2 - 2xiy | = d | \cos 2 \theta - i \sin 2 \theta| = d^2$$

---

O, mejor aún, sigue el comentario de dxiv y observa que la expresión es igual a $|x-iy|= |x+iy|$ Esto completa la prueba.

Answer 2

El problema es invariante a las traslaciones, por lo que podemos suponer WLOG que el centro está en el origen y la hipérvbola viene dada por $\big||z+a|-|z-a|\big|=2c\,$ . Entonces, cuadrando:

$$ |z+a|^2 + |z-a|^2 - 2 \,|z+a|\,|z-a| = 4c^2 $$

De ello se deduce que:

$$ \require{cancel} \begin{align} 2 \,|z+a|\,|z-a| &= |z+a|^2 + |z-a|^2 - 4c^2 \\ &= (z+a)(\bar z + \bar a) + (z-a)(\bar z - \bar a) - 4c^2 \\ &= |z|^2+\cancel{z\bar a}+\bcancel{\bar z a}+|a|^2+|z|^2-\cancel{z \bar a} - \bcancel{\bar z a} +|a|^2 -4c^2 \\ \iff \;\;\;\; |z+a|\,|z-a| &= |z|^2 + |a|^2 - 2c^2 \end{align} $$

El resultado se obtiene para $\,|a|^2 = 2c^2\,$ .