¿Qué significa tener una matriz en una integral vectorial?

Question

En el libro Reconocimiento de patrones y aprendizaje automático por C.M Bishop en un lugar estamos tratando de encontrar la covarianza $\mathbf\Sigma$ de una distribución gaussiana multivariante dada por -

$$\frac1{({2\pi})^{D/2}} \frac1{{|\mathbf\Sigma|}^{1/2}} \exp\{ -\tfrac12(\mathbf x-\boldsymbol\mu)^T \boldsymbol\Sigma^{-1} (\mathbf x-\boldsymbol\mu) \}$$

Allí estamos intentando encontrar $E[\mathbf x \mathbf x^T]$ y nos encontramos con una integral de la forma - $\int {\mathbf x \mathbf x^T d\mathbf x}$ que debe evaluarse en todos los $\Bbb R^n$ .

¿Qué significa tener la matriz $\mathbf x \mathbf x^T$ en la integral? ¿Cómo se define la integral para evaluarla? ¿Se trata en realidad de una integral de volumen realizada sobre todos los componentes de la matriz?

Answer 1

El valor esperado de un vector aleatorio o matriz aleatoria se define por componentes. Es decir, para ${\bf X}$ a $\mathbb{R}^n$ -el vector aleatorio $i$ ª componente de $E[{\bf X}]\in \mathbb{R}^n$ es $E[ X_i]$ . Asimismo, el $(i,j)$ entrada de $E[{\bf X}{\bf X}']\in\mathbb{R}^{n\times n}$ es $E[ X_iX_j].$