Sugerencia de libro de homotopía simplicial para cálculos HTT

Question

Me estoy peleando con Higher Topos Theory de Lurie, ya que parece que se espera que alguien que lea el libro se sienta algo cómodo con la teoría de homotopía simplicial. El principal problema que he tenido es el cálculo de cosas como la unión, producto, coproducto, pullback, pushout, y así sucesivamente. Las entiendo en cuanto a sus propiedades universales, y tal vez tenga una pequeña intuición porque la categoría de conjuntos simpliciales es una categoría de presheaf sobre la categoría simplex, pero Lurie usa lenguaje geométrico, así que ni siquiera puedo calcular como cuando trabajo con presheaves. Así que, ¿podríais recomendarme algunos libros o apuntes? preferiblemente con secciones sugeridas que no profundice demasiado en la teoría de la homotopía simplicial, pero lo suficiente para que aprenda a calcular?

Nota: La mayor parte del tiempo que pierdo sentado con ese libro es intentando dar sentido a los cálculos, mientras que entiendo perfectamente los argumentos. Así que, por favor, no sugieras un libro entero detallando toda la teoría de homotopía simplicial de principio a fin. Tengo un objetivo en mente, y sólo intento aprender lo necesario para seguir leyendo HTT.

Answer 1

No estoy muy seguro de lo que pide. Los colímitos y los límites son fáciles de calcular en conjuntos simpliciales, porque es una categoría de presheaf (como tú dices). Pero si quieres una intuición "geométrica" sobre los conjuntos simpliciales (incluyendo "imágenes" de uniones, etc.), necesitas conocer el functor de realización geométrica de conjuntos simpliciales a espacios. En particular, el hecho de que la realización geométrica preserva colímitos (es un adjunto a la izquierda), y que preserva límites finitos (esencialmente un teorema de Milnor).

El resultado límite se demuestra en el libro de Gabriel-Zisman. (Goerss-Jardine mencionan el resultado en el capítulo 1, pero no parecen demostrarlo).

Answer 2

Esto no parece ser muy conocido (a pesar de que el nLab se lo dice a cualquiera que busque en Google "quasi-category" o similar), pero las notas previas al libro/clase de André Joyal (referencia 44 en HTT ) es disponible en línea

El pdf está aquí:

André Joyal, La teoría de las cuasicategorías y sus aplicaciones (enlace muerto) ( espejo )

Incluye notas de clase de Ieke Moerdijk sobre $(\infty,1)$ -operads y por Betrand Toën en pilas derivadas en anillos simpliciales en una notable colección de apuntes de conferencias, que debería haberse publicado ya oficialmente, pero que sigue retrasándose:

Métodos simpliciales en categorías superiores (enlace muerto) (Barcelona, 2008): Notas del curso (enlace muerto) . (Actualización:) El libro se publicó en 2010, MathSciNet , Enlace Springer .

Echa un vistazo. Es un buen recurso. Pero tenga en cuenta que estos apuntes de clase se distribuyeron antes de que empezara el curso y que, mientras tanto, existen versiones mejoradas y pulidas, probablemente disponibles previa petición a los autores.

Answer 3

Con Heiner Kamps, intenté colmar en parte la laguna que dices padecer. Nuestro libro es Abstract Homotopy and Simple Homotopy Theory. (Mira mi página web y la lista de publicaciones.) También hay algunas cosas relevantes en las notas de Menagerie. Una primera versión de los mismos está disponible en mi página de n-Lab. Si tienes alguna otra dificultad, intentaré darte indicaciones.

Answer 4

Haciéndome eco de lo dicho por Urs, " Pero todos deberíais usar más el nLab: si queréis bibliografía sobre cuasicategorías, ¡buscad en la sección de referencias sobre cuasicategorías! :-) " y con respecto a su pregunta en particular, " Consulte la página de nLab sobre conjuntos simpliciales para obtener enlaces. "

Observando esta página de nLab sobre conjuntos simpliciales , en la sección de referencias habrás encontrado (a fecha de hoy, 21 de julio de 2011 10:19 pm, EST):

Greg Friedman: Introducción ilustrada elemental a los conjuntos simpliciales

que es repleto de imágenes ilustrar las ideas geométricas subyacentes a la combinatoria de conjuntos simpliciales. Como expone Friedman en la introducción de las páginas segunda y tercera de este trabajo,

"Aquí, en su mayor parte, no encontrarás encontrarán muchas demostraciones completas de teoremas, por lo que estas notas no serán completamente autocontenidas. Más bien intento principalmente mostrar con ejemplos cómo la combinatoria más básica, incluyendo las definiciones, surgen de ideas geométricas y mostrar la ideas geométricas que subyacen a las pruebas y propiedades más elementales".

Baste decir que esos apuntes pueden ser el final de su búsqueda para encontrar una introducción concisa a los conjuntos simpliciales que además le ayude a desarrollar su intuición geométrica y el cálculo de productos. También puedes encontrar las referencias que di en respuesta a la pregunta aquí útil.

Answer 5

Algo que podría ayudar es desarrollar cierta intuición sobre los espacios triangulables y las analogías con los conjuntos simpliciales. Tomar la realización geométrica y hacer algunos dibujos puede ayudarte a sentirte cómodo con estas ideas.