Anillos de cohomología y TQFTs 2D

Question

Existe un "teorema popular" (o, alternativamente, un ejercicio fácil y divertido) que afirma que una TQFT 2D es lo mismo que un álgebra conmutativa de Frobenius. Ahora bien, para toda variedad orientada compacta $X$ podemos asociar un álgebra de Frobenius natural, a saber, el anillo de cohomología $H^\ast(X)$ con el emparejamiento de dualidad de Poincare. Así pues, para toda variedad orientada compacta $X$ podemos asociar una TQFT 2D.

¿Es una coincidencia? ¿Hay alguna razón por la que pudiéramos esperar que apareciera este TQFT?

En $X$ es un compacto simpléctico quizás la aparición del álgebra de Frobenius pueda explicarse por el hecho de que la cohomología cuántica de $X$ que procede del modelo sigma de torsión A con objetivo $X$ se convierte en la cohomología ordinaria de $X$ al pasar al "límite de gran volumen".

Pero para un compacto general orientado $X$ ? No veo cómo podríamos interpretar la aparición del álgebra de Frobenius de alguna manera cuántica-teórica de campos. ¿Quizás haya una explicación a través de la homología de Morse?

Answer 1

En efecto, existe una explicación basada en la homología de Morse y, en el caso simpléctico, se trata de una degeneración de la cohomología de Floer hamiltoniana. En pocas palabras, se degeneran las superficies en grafos y se utiliza una función de Morse distinta para cada arista. Esto ha sido explorado (por ejemplo) por Ralph Cohen, inicialmente en un artículo con Betz y más recientemente con Norbury:

http://arxiv.org/pdf/math/0509681v1 .

Answer 2

Estos TQFT 2D no proceden de teorías extendidas (a menos que X sea discreto). Yo interpreto esto como que estas teorías son no locales (en el bordismo 2D) y por tanto tendrás problemas para interpretarlas en un marco QFT tradicional. Tendrás que hacer algo divertido y no local, como aplastar tus círculos a puntos y superficies a gráficas, como en el trabajo de Cohen mencionado por Tim.