Estoy siguiendo esta prueba en el libro "Transcendental Numbers" de M. Ram Murty y Purusottam Rath.
El resultado es un corolario del teorema de Baker.
Hay un par de cosas que no entiendo. ¿Por qué basta con demostrar que $$\beta_1\log\alpha_1+\ldots+\beta_m\log\alpha_m=0$$ para cualquier $\alpha_i$ y $\beta_i$ que satisfaga las condiciones dadas? Veo que $$\log(\alpha_1^{\beta_1}\dotsm\alpha_m^{\beta_m})$$ es igual a la parte izquierda de lo anterior, pero no estoy seguro de por qué / cómo esto es útil, o donde la contradicción viene.
En segundo lugar, entiendo que la independencia lineal de $\beta_1, \dotsc, \beta_m$ implica que $$c_mA_1=\dotso=c_mA_{m-1}=A_1c_1+\dotsb+A_{m-1}c_{m-1}=0$$ Pero ¿cómo implica esto que $A_1=\dotso=A_{m-1}=0$ ?
Agradecería cualquier ayuda.
Edición: añadido " que faltaba $=0$ "en la última línea