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Explicación de la prueba de la transendencia de $\alpha_1^{\beta_1} \dotsm \alpha_n^{\beta_n}$

Estoy siguiendo esta prueba en el libro "Transcendental Numbers" de M. Ram Murty y Purusottam Rath.

Proof of result

El resultado es un corolario del teorema de Baker.

Hay un par de cosas que no entiendo. ¿Por qué basta con demostrar que $$\beta_1\log\alpha_1+\ldots+\beta_m\log\alpha_m=0$$ para cualquier $\alpha_i$ y $\beta_i$ que satisfaga las condiciones dadas? Veo que $$\log(\alpha_1^{\beta_1}\dotsm\alpha_m^{\beta_m})$$ es igual a la parte izquierda de lo anterior, pero no estoy seguro de por qué / cómo esto es útil, o donde la contradicción viene.

En segundo lugar, entiendo que la independencia lineal de $\beta_1, \dotsc, \beta_m$ implica que $$c_mA_1=\dotso=c_mA_{m-1}=A_1c_1+\dotsb+A_{m-1}c_{m-1}=0$$ Pero ¿cómo implica esto que $A_1=\dotso=A_{m-1}=0$ ?

Agradecería cualquier ayuda.

Edición: añadido " que faltaba $=0$ "en la última línea

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metamorphy Puntos 186
  1. Supongamos que $\alpha_1^{\beta_1}\cdots\alpha_m^{\beta_m}$ es algebraico. Llámalo $\alpha_{m+1}$ Entonces $$\beta_1\log\alpha_1+\cdots+\beta_m\log\alpha_m+\beta_{m+1}\log\alpha_{m+1}=0$$ con $\beta_{m+1}=-1$ (como está escrito en el texto), contrariamente a lo que se muestra.

  2. Se supone que $c_m\neq 0$ (véase el texto). Así pues, $A_1=\ldots=A_{m-1}=0$ .

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