Acelerar la convergencia de una serie

Question

Quiero acelerar la convergencia de una secuencia que implica expresiones racionales la expresión es $$\sum _{x=1}^{\infty }\left( -1\right) ^{x}\dfrac {-x^{2}-2x+1} {x^{4}+2x^{2}+1}$$ Si no he entendido mal nada de lo que el error en la infinita suma es mayor que el valor absoluto de la última descuidado plazo. La fórmula para el n-ésimo término es $\dfrac {-x^{2}-2x+1} {x^{4}+2x^{2}+1}$ a partir de la definición de la serie. Para obtener la serie he usado Maxima el sistema de álgebra computacional. Me he dado cuenta de que para conseguir el 13 decimales de la serie uno debe vadear a través de $312958$ términos de la serie. Tuve que matar a los del equipo de la gui y algunos otros procesos del sistema y ejecutar maxima para calcular la suma. Me tomó cerca de 5 minutos. La suma final me obtenida fue de $0.3106137076850$. Hay alguna forma de acelerar la convergencia de los sume. En general, ¿hay alguna manera de acelerar la convergencia de la suma de $$\sum _{x=1}^{\infty }\left( -1\right) ^{x}\dfrac {p(x)} {q(x)}$$

donde tanto ${p(x)}$ ${q(x)}$ son funciones racionales. Me disculpo sinceramente si esta mal redactado o duplicado de la pregunta

Answer 1

Hay varios métodos para acelerar la suma de la serie. Por ejemplo sumación de Euler o los Mangos de transformación. Aquí es un método simple que funciona bastante bien. Vamos $$f(n)=\frac{n^2+2n-1}{n^4+2n^2+1}$$ and $$g(n)=\tfrac{1}{2}f(2n-1)-f(2n)+\tfrac{1}{2}f(2n+1).$$ Then $$f(1)-f(2)+f(3)-\ldots = \tfrac{1}{2}f(1) +g(1)+g(2)+g(3)+\ldots$$ but the right hand side converges much faster than the left hand side. This is a generic method. For example if you take $$f(n)=\frac{1}{n}$$ then $$g(n)=\frac{1}{(2n-1)\cdot 2n \cdot (2n+1)}$$ and $$\log(2)=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\ldots =\frac{1}{2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3} + \frac{1}{3\cdot 4 \cdot 5}+\ldots$$

Answer 2

Aquí es el primer paso hacia la fabricación de la serie evaluar de forma más rápida. Puede que necesite al igual que muchos términos, pero será más rápido. Salto de la serie a través de fracciones parciales.

$$\dfrac {-x^{2}-2x+1} {x^{4}+2x^{2}+1} = -\frac{2 (x-1)}{\left(x^2+1\right)^2}-\frac{1}{x^2+1}$$

Me voy a centrar en el segundo término de la suma.

$$\sum_{x=0}^\infty \frac{(-1)^x}{x^2+1} = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{4n^2+1} - \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2k+1)^2+1}$$

Cada una de las dos sumas pueden ser evaluados por el contorno de los métodos. Este enfoque se puede encontrar en mi post aquí. En resumen, por una parte suficiente de la función racional $f(z)$,

$$\lim_{N\to\infty} \sum_{k = -N}^{k = N} f(k)$$

es igual al negativo de la suma de los residuos de $\pi f(z) \cot(\pi z)$ en los polos de $f(z)$. Podemos usar esto debido a que se suma una función par. Este rendimientos

$$\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{4n^2+1} = \frac{1}{4} \left(2+\pi \coth \left(\frac{\pi }{2}\right)\right)$$

$$\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2k+1)^2+1} = \frac{1}{4} \pi \tanh \left(\frac{\pi }{2}\right)$$

Restar estos (y simplificar) para encontrar

$$\sum_{x=1}^\infty \frac{(-1)^x}{x^2+1} = \frac{1}{2} (\pi \operatorname{csch}(\pi )-1)$$

Ahora podemos concluir que nuestro primer paso por la escritura...

$$\sum _{x=1}^{\infty }\left( -1\right) ^{x}\dfrac {-x^{2}-2x+1} {x^{4}+2x^{2}+1} = -\frac{1}{2} (\pi \operatorname{csch}(\pi )-1) - \sum_{x=1}^\infty(-1)^x\frac{2 (x-1)}{\left(x^2+1\right)^2}$$

Puede ser tentador para probar el mismo enfoque para el resto de la serie, pero no estamos suma de una función par por lo que no será tan fácil.

Answer 3

Para la suma $$S=\sum _{n=1}^{\infty }\left( -1\right) ^{n}\dfrac {-n^{2}-2n+1} {n^{4}+2n^{2}+1}$$ a CAS gave as a result $$\frac{1}{8} \left(2 \pi ^2 \text{csch}^2\left(\frac{\pi }{2}\right)+(1-i) \left(\psi ^{(1)}\left(\frac{1}{2}-\frac{i}{2}\right)+i \left((-4+4 i)+\psi ^{(1)}\left(\frac{1}{2}+\frac{i}{2}\right)+\psi ^{(1)}\left(1-\frac{i}{2}\right)\right)+\psi ^{(1)}\left(1+\frac{i}{2}\right)\right)\right)$$ which is approximately $0.31061370769015654201991515962234635408157816305055$ (esta puede ser calculada por tantas cifras significativas como lo requiere).

Teniendo en cuenta de Brad resultado, para

$$T=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{2 (n-1)}{\left(n^2+1\right)^2}$$ a CAS gave $$\a la izquierda(-\frac{1}{8}+\frac{i}{8}\right) \left((2+2 i)+(1+i) \pi \left(\pi \text{csch}^2\left(\frac{\pi }{2}\right)+2 \text{csch}(\pi )\right)+\psi ^{(1)}\left(\frac{1}{2}-\frac{i}{2}\right)+i \psi ^{(1)}\left(\frac{1}{2}+\frac{i}{2}\right)+i \psi ^{(1)}\left(1-\frac{i}{2}\right)+\psi ^{(1)}\left(1+\frac{i}{2}\right)\right)$$