Difeomorfismo de 3-manifolds

Question

La teoría de la cirugía pretende medir la diferencia entre los tipos de homotopía simple y los tipos de difeomorfismo. En 3 dimensiones, la geometrización consigue algo mucho más matizado que eso. Aun así, me pregunto si se ha resuelto el problema clave de los cirujanos. ¿Es toda equivalencia de homotopía simple entre 3-manifolds lisos y cerrados homotópica a un difeomorfismo?

En relación con esto, del teorema de J.H.C. Whitehead se deduce que un mapa de 3-manifolds lisos, cerrados y conectados es una equivalencia homotópica si tiene grado $\pm 1$ e induce un isomorfismo en $\pi_1$ . ¿Existe un criterio razonable para que tal equivalencia homotópica sea simple? Se podría preguntar, por ejemplo, por los mapas que preservan invariantes de torsión abeliana (por ejemplo, los de Turaev).

Answer 1

Turaev definió un invariante simple-homotópico que es un invariante completo de tipo homeomorfismo (asumiendo originalmente la geometrización).

Aquí está el enlace Springer si usted tiene una suscripción: Hacia la clasificación topológica de los 3manifolds geométricos

Afirma en el artículo que un mapa entre 3-manifolds cerrados es un equivalencia homotópica si y sólo si es una equivalencia homotópica simple, pero dice que la prueba de este resultado aparecerá en un artículo posterior. No estoy No estoy seguro de que haya aparecido ya (no he buscado en su documentos posteriores sobre la torsión, y no hay ningún enlace MathScinet).

Answer 2

Waldhausen demostró que la equivalencia homotópica es homotópica a homeo (y por tanto difeo) para los 3manifolds de Haken. Perelman lo extiende a pi_1 irreducible/infinito.

Es una vieja conjetura que el grupo Whitehead de cualquier grupo libre de torsión es trivial.

Los 3-manifolds irreductibles o tienen pi_1 finito o libre de torsión, así que dado Perelman de nuevo sólo S^3/G tienen equivalencias homotópicas potencialmente no simples.

Answer 3

En realidad, esto no responde a la pregunta, sino que se refiere al comentario de Tim:-

"El núcleo de la cuestión -¡creo! - es si la teoría de grupos, más un poco de aportación topológica extra, reconoce las piezas geométricas de un 3-manifold ".

Es cierto que el grupo fundamental ve gran parte de la geometría. Scott y Swarup demostró que se puede reconstruir la descomposición JSJ (torus) de un 3-manifold irreducible a partir del grupo fundamental. Si tu múltiple no es irreducible, entonces la descomposición de Kneser--Milnor corresponde exactamente a la descomposición de Grushko de π ₁ . Y π ₁ también determina la geometría de las piezas geométricas---Las piezas con fibras Seifert tienen subgrupos cíclicos normales, etc.

(Por supuesto, necesitas la conjetura de Poincare para saber que no has conectado la suma con una falsa 3-esfera).

Answer 4

Sobre el caso elíptico $S^3/G$ : los 3manifolds elípticos se clasifican hasta el homeomorfismo por su $\pi_1$ excepto los espacios de las lentes. Para los espacios lente, la clasificación de tipo homotópico simple es equivalente a la clasificación de homeomorfismos (véase, por ejemplo, Milnor, Whitehead torsion, Bulletin AMS, 72), pero difiere de la clasificación homotópica.

Answer 5

En cuanto a tu primera pregunta, en 1953 Moise demostró la Hauptvermutung (de los manifolds) para los 3-manifolds (Ann. of Math. 58, pp. 458-480). Una forma de expresar su resultado es que todo homeomorfismo (difeomorfismo) entre 3-manifolds compactos es homotópico a un homeomorfismo PL.