Generalizaciones del cálculo "estándar

Question

Tenemos la analogía habitual entre el cálculo infinitesimal (integrales y derivadas) y el cálculo finito (sumas y diferencias hacia delante), y también la generalización del cálculo infinitesimal al cálculo fraccionario (que permite potencias reales e incluso complejas del operador diferencial). ¿Ha trabajado la gente en un cálculo "fraccionario finito", en el que en lugar de un diferintegral tuviéramos una especie de "diferso"? No sé mucho al respecto, pero estaba pensando que tal vez la respuesta podría venir del cálculo umbral?

Para dar un ejemplo motivador/caso especial a esta cuestión: el Artículo de Wikipedia sobre cálculo fraccionario utiliza el ejemplo del $\frac{1}{2}$ que aplicada dos veces da la derivada estándar. ¿Cuál es el operador $D$ sobre secuencias tales que, aplicadas dos veces, dan la diferencia hacia adelante de la secuencia original?

Además, quizás tenga una pregunta relacionada: La solución a $\frac{d}{dx}f=f$ es $f=e^x$ mientras que la solución de $\Delta f = f$ es $f=2^x$ . ¿Es el hecho de que $e$ ¿cerca de 2 es una coincidencia, o hay algo que conecte estos resultados? En términos más generales, ¿existe algún tipo de espectro de cálculos entre "finito" e "infinitesimal", cada uno con su propio " $e$ "?

EDIT: Después de buscar un poco más he encontrado escalas de tiempo que son más o menos lo que yo estaba pensando en la segunda parte de mi pregunta (aunque muchas de las respuestas que la gente ha proporcionado están en la misma línea general). Me sorprende que no se hable más de este tema en el análisis: la unificación de lo discreto y lo continuo debería ser un concepto fundamental.

Answer 1

Al menos puedo responder a su última pregunta. La derivada actúa como un operador de desplazamiento en las series de Taylor, por lo que el operador $\frac{d}{dx} - 1$ actúa como la diferencia de avance en las series de Taylor. Así que sus vectores propios son básicamente los mismos; los vectores propios de la derivada son las funciones exponenciales $e^{\lambda x}$ que tienen coeficientes de Taylor $a_n = \lambda^n$ y estos son los vectores propios de la diferencia hacia adelante. Voy a pensar en sus otras preguntas.

Edita: He aquí una posible manera de tener una noción de "diferencia forward fraccionaria". Si escribimos el operador de diferencia hacia delante $\Delta f(n) = f(n+1) - f(n)$ como $D - 1$ donde $D$ es el operador de desplazamiento, se deduce que

$\displaystyle \Delta^k f(n) = (D - 1)^k f(n) = \sum_{i=0}^{k} {k \choose i} (-1)^{k-i} f(n+i)$

por el teorema del binomio. Así que una posible extensión a valores no enteros de $k$ es utilizar formalmente el teorema del binomio generalizado en la expansión anterior. Desgraciadamente, la suma anterior es entonces infinita y, por tanto, no está garantizada su convergencia. No estoy muy seguro de lo útil o interesante que es esto.

Edita 2: Bueno, eso no funciona por una estúpida razón; $\sqrt{D - 1}$ no tiene una expansión de la serie Taylor en $0$ . Sin embargo, el hacia atrás operador de diferencia $\nabla f(n) = f(n) - f(n-1)$ puede escribirse como $1 - E$ donde $E$ es el otro operador de desplazamiento y $(1 - E)^k$ tiene una expansión en serie de Taylor para cada $k \in \mathbb{C}$ . (Obsérvese en particular el caso $k = -1$ .)

Answer 2

No sé si lo has visto pero hay artículos dedicados al "cálculo fraccionario discreto". Como este por ejemplo http://arxiv.org/abs/0911.3370 o http://www.math.u-szeged.hu/ejqtde/sped1/103.pdf . Como en el cálculo fraccionario, por supuesto la integral fraccionaria discreta es más fácil de definir que la derivada fraccionaria discreta.

Answer 3

Esto podría ser una respuesta a tu última pregunta: si defines $\frac{\Delta_t}{t}$ como $\frac{f(x+t)-f(x)}{t}$ para $t>0$ y resuelves $\frac{\Delta_t}{t}(f)=f$ se obtiene la solución $$f(x)=\left((1+t)^{\frac{1}{t}}\right)^x.$$ Así, para el operador $\Delta_1(f)=f(x+1)-f(x)$ la solución es $2^x$ y como $t\rightarrow 0$ la solución tiende a $e^x$ .

Answer 4

Parte de lo que hace tan especial a la función exponencial es que es la función propia de un operador diferencial. Cuando resolvemos la ecuación $ \frac{df}{dx} = E f $ estamos diciendo que f es una función propia de $\frac{d}{dx}$ con valor propio E. El espectro, en este caso, es toda la recta real.

Si resolvemos la ecuación f(n+1) - f(n) = k f(n), con f(0) = 1. Entonces tenemos f(n+1) = (k+1)f(n), por lo que $f(n) = (k+1)^n$ . En su caso $k = 2$ .

Otro ejemplo en el que pensar es el oscilador armónico cuántico que busca funciones propias de $H = \frac{d^2}{dx^2} - x^2$ . Sin embargo, obtenemos la factorización $\left( \frac{d}{dx} - x \right)\left(\frac{d}{dx} + x \right) = a_- a_+$ . La función propia de $a_-$ es $e^{-x^2/2}$ y lo dejaré como un ejercicio para mostrar $H[e^{-x^2/2}] = 0$ y que $(a_+)^k[ e^{-x^2/2}]$ es una función propia de H para todo k.

Answer 5

Me doy cuenta de que esta pregunta se publicó hace un tiempo, pero me gustaría hacer una nota en su edición indicando,

Después de buscar un poco más he encontrado escalas de tiempo, que son más o menos lo que yo estaba pensando en la segunda parte de mi pregunta (aunque muchas de las respuestas que la gente ha proporcionado están en la misma línea general). Me sorprende que no se hable más de este tema en el análisis: la unificación de lo discreto y lo continuo debería ser un concepto fundamental.

El cálculo de la escala de tiempo es un desarrollo bastante nuevo. Surgió en 1989 en la tesis doctoral de Hilger (inicialmente lo llamó cadena de medidas). En el momento de escribir su tesis, los matemáticos no aceptaron su idea. Luego, a principios de los 90, las ideas llegaron a EE.UU. y ahora se escriben artículos sobre la escala temporal en todo el mundo. Sin embargo, supongo que todavía hay algunos matemáticos que no estudian ni enseñan la escala de tiempo.

Si buscas recursos al respecto, puedes echar un vistazo a [1].

Además, veo más arriba que estás intentando definir la función exponencial para el "cálculo discreto (de diferencias)" (si estoy entendiendo bien tu mensaje).

Obsérvese que para el caso continuo, tenemos que $(e^{at})^{'}=ae^{at}$

Ahora, considere $\Delta (1+ \alpha)^{t} = (1+ \alpha)^{t+1} - (1 + \alpha)^{t}= (1+\alpha)(1+\alpha)^{t}- (1+\alpha)^{t} = ((1+\alpha)-1)(1+\alpha)^{t}=\alpha(1+\alpha)^{t}$ .

Por lo tanto, la exponencial discreta debería ser en realidad $(1+ \alpha)^{t}$ .

[2] es un buen recurso para el cálculo discreto.

También en [1] se habla de exponenciales en la escala temporal. Existe una forma exponencial delta y nabla. Puedes considerar comprobarlo.

En cuanto a tu pregunta sobre el cálculo fraccionario, creo recordar que mi profesor mencionó algún problema con el cálculo fraccionario y la escala temporal. No recuerdo exactamente de qué se trataba, pero era un problema abierto relacionado con el cálculo fraccionario. (Nota: Hay muchos problemas abiertos en la escala de tiempo).

Espero que te sirva de ayuda.

[1] Bohner, M. & Peterson, A. (2001). Dynamic Equations on Time Scales: An Introduction with Applicaitons. Boston, MA: Birkhäuser.

[2] Kelley, W. y Peterson, A. (2001). Difference Equations: An Introduction with Applications (2ª ed.). San Diego, CA: Academic Press.