¿Cómo normalizar una variable aleatoria hasta el cuarto momento?

Question

Supongamos que $X$ es una variable aleatoria tal que $\operatorname*{E}(X^n) < \infty$ para cualquier $n \in \mathbb{Z}$ . Podemos normalizar $X$ hasta el segundo momento dejando que $Y = \frac{X - \operatorname*{E}(X)}{\sqrt{\operatorname*{E}\left(X^2\right) - \operatorname*{E}(X)^2}}$ tal que $\operatorname*{E}(Y) = 0$ y $\operatorname*{E}(Y^2) = 1$ . ¿Cómo construimos una variable aleatoria $Z$ de $X$ tal que satisfaga las siguientes propiedades? El lado derecho puede ser cualquier constante. He elegido 0 y 1 simplemente porque quedan bien.

$$\begin{equation} \begin{cases} \operatorname*{E}(Z) &= 0 \\ \operatorname*{E}(Z^2) &= 1 \\ \operatorname*{E}(Z^3) &= 0 \\ \operatorname*{E}(Z^4) &= 1 \\ \end{cases} \end{equation}$$

Imagino que necesitaremos operaciones de orden superior, como la raíz cuadrada o el logaritmo, pero no consigo entenderlo.

Answer 1

No, no siempre es posible. Primero, por la desigualdad de Jensen, $E[Z^4] = E[(Z^2)^2] \ge E[Z^2]^2$ con igualdad si $Z$ es en realidad una constante. Eso descarta inmediatamente $E[Z^4] = E[Z^2]$ a menos que $Z^2$ es una constante.

En términos más generales, si no exigimos $\mathbb{E}[Z^4] = 1$ pero aún desea especificar algún valor para $\mathbb{E}[Z^3]$ y $\mathbb{E}[Z^4]$ seguimos sin poder hacerlo en general. Por ejemplo, consideremos el caso en que $X=x_1$ con probabilidad $p$ y $X=x_2$ con probabilidad $q=1-p$ . Si $Z = f(X)$ entonces $Z$ sólo puede tener los valores $a = f(x_1)$ o $b = f(x_2)$ . Tenemos que $$\begin{align*} \mathbb{E}[Z] &= pa + qb \\ \mathbb{E}[Z^2] &= pa^2 + qb^2 \\ \mathbb{E}[Z^3] &= pa^3 + qb^3 \\ \mathbb{E}[Z^4] &= pa^4 + qb^4. \end{align*}$$ Si necesitamos $E[Z] = 0$ y $E[Z^2] = 1$ que requiere inmediatamente $a=\frac{-qb}{p}$ y $b^2 = \frac{p}{q^2+qp} = \frac{p}{q}$ . Esto especifica $a$ y $b$ hasta una señal, por lo que no tenemos la oportunidad de elegir $a$ y $b$ hacer $\mathbb{E}[Z^3]$ o $\mathbb{E}[Z^4]$ cualquier valor concreto.

Answer 2

No cada combinación de momentos puede representar una distribución de probabilidad $P$ porque las distribuciones de probabilidad son funciones positivas y normalizadas (como se ha indicado en la respuesta anterior), sin embargo, se puede transformar una distribución continua en otra utilizando la función método de transformación inversa por lo que siempre se puede transformar la distribución a la distribución (por ejemplo) gaussiana con los momentos estándar gaussianos.