Podemos aplicar la fórmula de la suma infinita si el cociente común es un número complejo $?$

Question

Supongamos que hay una serie, una serie infinita $$a+bi,(a+bi)^2,(a+bi)^3,\cdots$$

¿Podemos aplicar la fórmula de $G.P$ para calcular su suma $\frac{a_1}{1-r}?$

Aquí el cociente común es un número complejo. Que yo sepa, la fórmula anterior sólo puede aplicarse si $|r|<1$ .

Estaba haciendo un problema en el que tenemos que calcular límite $n$ tendente a $\infty$ de una serie similar. Allí apliqué erróneamente la fórmula anterior y obtuve la misma respuesta que se da en la solución. Pero, ¿por qué $?$ El número complejo era $$\frac{1+i\sqrt{5}}{6}$$

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Sí que puedes. La justificación es álgebra básica.

Dejar $(z)$ en lugar de $(x)$ denotan una variable compleja, se tiene que

$$(1 + z + z^2 + \cdots + z^n)(1 - z) = 1 - z^{(n+1)}.$$

Así que, al igual que en el Análisis Real, la cuestión es si el límite, como $n \to \infty$ de $z^n$ es $(0)$ . Dicho de otro modo, al igual que en Análisis Real, cuando se estima

$$(1 + z + z^2 + \cdots + z^n)$$

por

$$\frac{1}{1 - z},$$

el error en la estimación es

$$\frac{-z^{(n+1)}}{1-z}.$$

Desde $z$ es presumiblemente un valor fijo, no igual a $[1 + i(0)]$ entonces el error en la estimación va a $(0)$ sólo si

$$\lim_{n\to\infty} z^n = 0. \tag1 $$

El problema es que determinar si (1) es cierto es un poco complicado. Una forma es que (1) sea cierto si y sólo si

$$\lim_{n\to\infty} |z|^n = 0 \iff |z| < 1. \tag2 $$

El enfoque alternativo consiste en expresar $z^n$ como $u(n) + iv(n)$ donde $u$ y $v$ son funciones de valor real cuyo dominio son los números enteros positivos.

Entonces, tienes que (1) arriba es verdad si y sólo si ambos de los siguientes son verdaderos:

$$\lim_{n\to\infty} u(n) = 0, ~~~ \lim_{n\to\infty} v(n) = 0.$$