Una propiedad de la función $\frac{\sin x}{x}$

Question

¿Cómo se puede demostrar que $0$ es el único valor de $\frac{\sin x}{x}$ ¿tomada infinitamente a menudo?

Lo que probé:

Para ver el aspecto del gráfico https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28sin+x%29%2Fx

La función es continua y tiene infinitos valores positivos y negativos, por lo que según Darboux tiene infinitos ceros.

Además, la línea $y=0$ es una asíntota tanto en $\pm\infty$ pero esto sólo, no implica el resultado. ¿Qué más debo usar?

Answer 1

Sea $0\ne r\in [-1,1].$ Sea $f_r(x)=-rx+\sin x.$

Desde $\frac {\sin x}{x}\to 0$ como $|x|\to \infty,$ toma $M>0 $ tal que $|x|>M\implies \left|\frac {\sin x}{x}\right|<|r|\implies f_r(x)\ne 0.$

Ahora $f_r'(x)=-r+\cos x$ por lo que el conjunto $S=\{x\in [-M,M]: f'_r(x)=0\}$ es finito. Por lo tanto $S\cup \{-M,M\}=\{x_j: 1\le j\le n\}$ para algunos $n\in \Bbb N,$ donde $x_j<x_{j+1}$ para cada $j<n.$

Ahora $f_r$ es estrictamente monótona en cada intervalo $[x_j,x_{j+1}]$ para $j<n$ porque $f'_r$ es continua y no $0$ en $(x_j,x_{j+1}).$ Por lo tanto, hay como máximo un $x\in [x_j,x_{j+1}]$ tal que $f_r(x)=0.$

También podríamos decir que hay un miembro de $(f'_r)^{-1}\{0\}$ entre 2 miembros cualesquiera de $f_r^{-1}\{0\}$ por lo que si $[-M,M]\cap f_r^{-1}\{0\}$ era infinito entonces $[-M,M]\cap (f_r')^{-1}\{0\}$ sería infinita.

Answer 2

Dado que es una función par, esto equivale a que otros valores sólo pueden ser alcanzados por un número finito de $x>0$ . Como señalaron @AnginaSend y @JCAA, sólo necesitas el límite en $\infty$ . Desde $-\frac1x\le\frac{\sin x}{x}\le\frac1x$ por el teorema de compresión $\lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}=0$ . Es decir $$\forall\epsilon>0\exists N>0\forall x>N\left(\left|\frac{\sin x}{x}\right|<\epsilon\right).$$ En particular, $$\forall\epsilon>0\exists N>0\forall x>0\left(\frac{\sin x}{x}-\epsilon=0\implies x\in(0,\,N]\right).$$ Desde $\frac{\sin x}{x}$ sólo tiene un número finito de puntos de inflexión en cualquier conjunto de la forma $(0,\,N]$ (la prueba es un ejercicio), sin intervalos de anchura positiva en los que sea constante, hemos terminado.