Mostrar $f$ es constante en $D$ si $v=u^2$ .

Question

Estoy trabajando en una hoja de trabajo en grupo y ninguno de nosotros sabe cómo enfocar este problema:

Supongamos que $f = u+iv$ es analítica en el dominio $D$ y $v=u^2$ en $D$ . Demuestre que $f$ debe ser constante en $D$ .

Sabemos que porque es analítica, que las ecuaciones de Cauchy reimann son ciertas. Pero no estamos seguros de cómo pasar de ahí. Sólo buscamos una pista en qué dirección ir.

Answer 1

Apliquemos Cauchy-Riemann:

$$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$$

dice que

$$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u^2}{\partial y} = 2u\frac{\partial u}{\partial y}.\tag{1}$$

Igualmente

$$\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$$

dice que

$$\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial u^2}{\partial x} = -2u\frac{\partial u}{\partial x}.\tag{2}$$

Poner $(1)$ y $(2)$ juntos dan

$$\frac{\partial u}{\partial x} = -4u^2\frac{\partial u}{\partial x} \Rightarrow (1+4u^2)\frac{\partial u}{\partial x} = 0.$$

Dado que esto es válido para todos los $x$ o bien $u = \pm\frac{1}{2}i$ (lo que no puede ser el caso - ¿por qué?) o $\frac{\partial u}{\partial x} = 0$ que dice $u$ es constante. Entonces, como $v=u^2$ , $v$ debe ser constante.

Answer 2

Sugerencia : $$u_x = v_y = (u^2)_y = 2uu_y$$

Utilice ahora la otra ecuación de Cauchy-Riemann para representar $u_y$ en términos de $u$ y $u_x$ y reorganizar.

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Spoiler:

Debe llegar a $(1 + 4u^2) u_y = 0$ Así que $u_y$ ¿es...?

Answer 3

Gracias a las ecuaciones de Cauchy-Riemann tenemos: $$ u_x=v_y=2uu_y,\ u_y=-v_x=-2uu_x. $$ De ello se deduce que $$ u_x=2uu_y=-4u^2u_x,\ u_y=-4u^2u_y, $$ es decir $$ (1+4u^2)u_x=0=(1+4u^2)u_y. $$ Por lo tanto $$ u_x=u_y=v_x=v_y=0, $$ y puesto que $D$ es conexo, se deduce que $u$ y $v$ son constantes. Así, $f$ es constante.