Sea $X\colon I\to\mathsf{Top}$ sea un functor, donde $I$ es una categoría y $\mathsf{Top}$ es la categoría de los espacios topológicos. Entonces podemos formular el límite $\operatorname{lim}_IX$ (con una familia de proyecciones $(p_i\colon\operatorname{lim}X\to X(i))_{i\in I}$ ), que lleva la topología generada por $\{p_i^{-1}(U)\mid i\in I, U\subset X(i)\text{ open}\}$ . Me pregunto si cada proyección $p_i\colon\operatorname{lim}X\to X(i)$ ¿es una cartografía abierta?
Al menos esto es cierto para un caso especial: si tomamos $I$ sea discreta, entonces $\operatorname{lim} X=\prod_{i\in I}X(i)$ y las proyecciones de un espacio producto a sus factores son suryectivas y abiertas. Para el caso general, el conjunto subyacente de $\operatorname{lim}X$ puede identificarse con un subconjunto $\{(x_i)_{i\in I}\mid X(f)(x_i)=x_j,\forall f\colon i\to j\}$ de $\prod_{i\in I} X(i)$ y su topología también puede identificarse con la topología del subespacio, pero parece que $\operatorname{lim}X$ no siempre está abierto en $\prod_{i\in I} X(i)$ por lo que si $p_i$ está abierto no se puede ver inmediatamente...
Se agradece cualquier idea.
