¿Cómo llenar un simplex con cuboides casi disjuntos?

Question

Hay un algoritmo que nos da cuboides en $\mathbb{R}^3$ , digamos $Q_1,Q_2,\ldots$ tal que $\cup_{i=1}^{\infty} Q_i$ es el simplex con vértices $(0,0,0), (1,0,0) , (0,1,0), (0,0,1)$ y el $Q_i$ son casi disjuntos (es decir $\lambda(Q_i\cap Q_j)=0$ si $i\neq j$ )?

En $\mathbb{R}^2$ hay muchas maneras fáciles de llenar un triángulo con casi disjoint-rectangles pero no había encontrado la manera de generalizar esto a dimensiones más altas. ¿Tienes alguna idea?

Esto será muy útil, por ejemplo, para aproximar la función de distribución acumulativa de una suma de 3 o más variables aleatorias que no son necesariamente independientes.

Answer 1

OK, ya que finalmente hemos descubierto lo que Andrés está preguntando y ya que 600 caracteres es un poco demasiado restrictivo, voy a publicar esto como una respuesta.

El siguiente código de Asymptote dibujará el relleno excepto que aquí he utilizado el simplex de tamaño 4 en lugar del de tamaño 1:

size(400);
import three;
import graph3;

pen\[\] q={red,green,magenta,blue,black};
q.cyclic(true);

int N=4;
triple O=(0,0,0),A=(4,0,0),B=(0,4,0),C=(0,0,4);
draw(O--A--B--C--A--C--O--B);
for(int n=0;N>n;++n)

{
real s=1/2^n;
for(real x=4-3\*s;x>=0;x-=2s)
for(real y=4-x-3\*s;y>=0;y-=2s)
{
draw(shift((x,y,4-x-y-3\*s))\*scale3(s)\*unitcube,q\[n\]);
draw(shift((x-s,y,4-x-y-3\*s))\*scale3(s)\*unitcube,q\[n\]);
draw(shift((x-s,y+s,4-x-y-3\*s))\*scale3(s)\*unitcube,q\[n\]);
draw(shift((x-s,y,4-x-y-2\*s))\*scale3(s)\*unitcube,q\[n\]);
}
}

El unitcube es sólo $[0,1]^3$ El resto debería explicarse por sí mismo.

Answer 2

He aquí un método (muy poco original): superponer una malla hiperplana finita sobre la región de interés. Para R^2 esto divide el plano en rectángulos, para R^3 en cuboides (también conocidos como paralelípedos rectangulares), y en intervalos de mayor dimensión para el espacio de su elección. Ahora, marca todas las áreas delimitadas de la cuadrícula que se encuentren completamente dentro de tu región; si te sobra algo de espacio que no esté dentro de un área marcada, añade finitamente muchos más hiperplanos a tu cuadrícula, y repite. Si haces esto un número contable de veces, la medida de tu región estará dentro de epsilon. Te dejo la formalización del algoritmo a ti.

Uy, al usar la palabra medida lo he delatado. Véanse los detalles técnicos en Lesbesgue o Riemann.

Gerhard "Ask Me About System Design" Paseman, 2010.02.17