La afirmación de que $HF^{\ast}(X,X)$ es isomorfo a $QH^\ast(X)$ es una versión del isomorfismo Piunikhin-Salamon-Schwarz (PSS) (demostrado, bajo ciertos supuestos, en el libro de McDuff-Salamon "J-holomorphic curves in symplectic topology"). PSS es un isomorfismo canónico de anillo de $QH^{\ast}(X)$ a la cohomología de Floer hamiltoniana de $X$ y esta última puede compararse directamente con la cohomología Floer lagrangiana de la diagonal.
Pasemos ahora a la cohomología de Hochschild de la categoría de Fukaya $F(X)$ . Hay un mapa geométricamente definido $QH^{\ast}(X) \to HH^{\ast}(F(X))$ Seidel en un marco ligeramente diferente (véase su "Fukaya categories and deformations"), inspirado en las observaciones ligeramente vagas pero premonitorias de Kontsevich de 1994. Se podría definir este mapa sin demasiados problemas, digamos, para las variedades monótonas. Se construye a través de espacios de moduli de polígonos pseudoholomórficos sujetos a condiciones de contorno lagrangianas, con una condición de incidencia de un punto marcado interior con ciclos elegidos en $X$ . La cuestión es si se trata de un isomorfismo.
Esta afirmación es abierta, y probablemente no se demuestre cierta en un futuro próximo, por una sencilla razón: $QH^*(X)$ no es trivial, mientras que no disponemos de una construcción general de Lagrangianos Floer-teóricamente esenciales.
Hay dos cosas positivas que puedo decir. Una es que la heurística de Kontsevich, que implica interpretar $HH^{\ast}$ como deformaciones del functor de identidad, tienen ahora una configuración natural en la teoría de Floer acolchada de Mau-Wehrheim-Woodward (en curso). Esto significa que la categoría de Fukaya $F(X\times X)$ se integra de forma natural en el $A_\infty$ -categoría de $A_\infty$ -endofunctores de $F(X)$ .
La otra es que para las variedades de Weinstein (una clase de variedades simplécticas exactas con límites de tipo contacto), parece existir un mapa análogo de la cohomología simpléctica $SH^{\ast}(X)$ (una versión de la cohomología Hamiltoniana de Floer en la terminación cónica de $X$ ) a $HH^{\ast}$ de la categoría Fukaya envuelta, que involucra Lagrangianos no compactos. (Edición de agosto de 2010: Me descuidé con lo de homología frente a cohomología. Debería haber dicho que $HH_{\ast}$ mapas a $SH^{\ast}$ .) Probar que se trata de un isomorfismo es más factible porque se puede probar que las variedades de Weinstein admiten fibraciones de Lefschetz. Los dedales de Lefschetz son entonces objetos de la categoría Fukaya envuelta.
Se podría proceder de la siguiente manera. Los dedales para una fibración de Lefschetz deberían generar la envoltura triangulada de la categoría envuelta (quizás debería dividir-cerrar aquí; no estoy seguro) - esto sería una mejora de los resultados del libro de Seidel. En consecuencia, uno debería ser capaz de calcular $HH_{\ast}$ sólo en términos de $HH_{\ast}$ para la subcategoría completa generada por los dedales. Esta última debería estar relacionada con $SH^{\ast}$ mediante ideas estrechamente relacionadas con las del artículo de Seidel "Symplectic homology as Hochschild homology".
¿Qué puede ser más sencillo?
AÑADIDO: Kevin pide pruebas a favor o en contra $QH^{\ast}\to HH^{\ast}$ siendo un isomorfismo. No conozco ninguna prueba en contra. Verificarlo para un $X$ iría presumiblemente en dos pasos: (i) identificar generadores para la (envolvente triangulada de) $F(X)$ y (ii) demostrar que el mapa de $QH^{\ast}$ a $HH^{\ast}$ para la subcategoría completa que generan es un isomorfismo. Se ha avanzado mucho en (i), menos en (ii), aunque el caso de Fanos tóricos ha sido estudiado por Fukaya-Oh-Ohta-Ono, y en este caso la simetría especular hace predicciones para (i) que espero que se demuestren pronto. En los haces disco-cotangentes simplemente conectados, la sección cero genera, y tanto $HH_{\ast}$ para la categoría compacta de Fukaya y $SH^{\ast}$ son isomorfos a la homología del espacio de bucles, pero no creo que se sepa que el isomorfismo resultante es el de Seidel.
Añadido en agosto de 2010: Abouzaid ( 1001.4593 ) ha realizado importantes avances en este ámbito.
