La desigualdad....(RMO $1994$...la pregunta $8$)

Question

Si $a$, $b$, $c$ son los números reales positivos tales que $a+b+c = 1$, demostrar que $$(1+a)(1+b)(1+c) ≥ 8(1-a)(1-b)(1-c)\text{.}$$

Answer 1

Muy natural es empezar a reemplazar a $1-a$$b+c$, ya que hay más desigualdades para no negativos reales de reales. (En este caso todos los términos son positivos, pero sin signos son feos en este problema así que vamos a eliminar.) Así que tenemos que demostrar que $$(1+a)(1+b)(1+c)\geq 8(b+c)(a+c)(a+b).$$ Also, there are number eight in the inequality so that makes me guess that one might be able to prove the inequality by taking three times arithmetic-geometric inequality. So I have to modify terms somehow. Lets test: $$1+a=a+b+c+a=2a+b+c,1+b=2b+a+c,1+c=2c+a+b.$$ But arithmetic-geometric inequality means that we have to take square root of expressions so squares would be nice. There are something similar terms in $2a+b+c$ and $2b+a+c,$ namely $a+b$. So lets try to write the inequality as $$((a+b)+(a+c))((a+b)+(b+c))((a+c)+(b+c))\geq 8(b+c)(a+c)(a+b).$$ But this is just the arithmetic-geometric inequality of the numbers $a+b,a+c,$ and $b+c.$

Answer 2

$a+b, c+a$ es real positivo, considere la posibilidad de $\frac{1+a}{2}= \frac{(a+b)+(c+a)}{2} \geq \sqrt{(a+b)(c+a)}$ yo.e$(1+a)\geq2\cdot\sqrt{(1-c)(1-b)}$ y así..

Answer 3

Tenga en cuenta que por la A. M - G. M tenemos $$ (b+c)+(c+a) \geq 2 \cdot \sqrt{(b+c)\cdot(c+a)}$$ This says $2c+b+a =1+c\geq 2 \cdot \sqrt{(b+c)\cdot (c+a)}$. Similary get inequalities for $(1+b)$ and $(1+c)$ multiplicar y obtener la respuesta.

Answer 4

Podemos probar fácilmente que la desigualdad: $(a+b)(b+c)(c+a)\ge 8abc$.

La sustitución de $a$ por $(1-a)$, $b$ por $(1-b)$ $c$ $(1-c)$ obtenemos:

$$(2-(a+b))(2-(c+b))(2-(c+a))\geq 8(1-a)(1-b)(1-c)$$

pero $a + b + c= 1$ por lo tanto:

$$a+b=1-c,~ b+c=1-a, ~\text{and}~ c+a=1-b$$

sustituyendo estos valores en la PREPA, se obtiene :

$$(1+a)(1+b)(1+c)\ge8(1−a)(1−b)(1−c)$$

lo que demuestra la desigualdad.