Pruebas de hipótesis

Question

Se ha pedido a un laboratorio que evalúe la afirmación de que restaurante local tiene una concentración de plomo de 6 partes por billón (ppb). Las mediciones repetidas siguen una distribución normal y la desviación típica de la población es de 0,25 ppb = 0,01.

- Se toma una muestra de tres mediciones y se halla: 6.79; 6.13; 7.17

1. ¿Hay pruebas que sugieran que la concentración de plomo es diferente de 6 ppb?

Esta es una pregunta de deberes en la que estoy realmente atascado, así que si alguien pudiera indicarme la dirección correcta sería estupendo.

Soy consciente de que se trata de una pregunta de comprobación de hipótesis y de que la hipótesis nula es que µ = 6 ppb, mientras que la alternativa es que µ no es igual a 6 ppb. Sin embargo, realmente no sé qué hacer con las tres mediciones de la muestra. ¿Obtengo la media de las tres cifras o utilizo cada una en una prueba de hipótesis separada?

Answer 1

Desde una perspectiva frecuentista, debería calcular el error estándar de la media muestral (utilizando la desviación estándar poblacional conocida). A continuación, puede calcular a cuántos errores estándar se aleja la media de la muestra de seis ppb y observar las correspondientes colas de la función de densidad de probabilidad Normal (nótese el plural).

Se supone que hay una concentración fija de plomo en el agua y que el error de medición es aleatorio: se distribuye normalmente con media cero, es decir, no hay ningún error sistemático en las mediciones.

Answer 2

He aquí la respuesta bayesiana. ¿Cómo estimaría el bayesiano la media de la población? Suponiendo un prior muy poco informativo (con precisión cero, véanse los comentarios), es simplemente la media: $$\mu'=1/n\sum_{i=1}^n x_i\approx 6.7$$ Como conoces la desviación típica de la población, conoces la varianza de la población $Var=SD^2$ y ya conoces la precisión $\rho=1/Var=16$ . La regla de aprendizaje bayesiano para la precisión es la suma de las precisiones de sus observaciones. Usted tiene 3, por lo que $\rho'=3*16=48$ , $Var=1/48$ , $SD=\sqrt{1/48}\approx 0.144$ . Así que el bayesiano piensa que la media de la población se distribuye normalmente con media $\mu'$ y SD $0.144$ .

La pregunta es: Teniendo en cuenta su estimación a partir de las observaciones, ¿qué probabilidad hay de que el valor de prueba 6ppb o inferior pueda proceder de $N(\mu',\rho')$ ? Comprobamos una tabla normal estándar. Calcular la puntuación Z: $$Z=(6-\mu')/sd=-0.7/0.144\approx -4.86.$$ En tabla acumulativa en realidad sólo llega hasta $Z=3$ En ese momento $0.9987$ de los valores son los siguientes $Z$ Por lo tanto $1-0.9987$ de los valores son los siguientes $Z=-3$ (por simetría de la normal) y aún menos por debajo de $Z=-4.8$ . Por lo tanto, puede rechazar la hipótesis de que la media poblacional estimada es igual al valor de prueba $6$ con su $\alpha$ nivel, ya que $1-0.9987<\alpha$ .