Espacio de cobertura universal de los productos en cuña

Question

Hoy estaba estudiando para un examen eliminatorio y se me ocurrió la siguiente pregunta;

¿Existe una descripción sencilla en términos de subespacios universales para la cubierta universal de un producto cuña?

Esta cuestión surgió tras calcular las cubiertas universales de la cuña de esferas ( $\mathbb{S}^1 \vee\mathbb{S}^1$ y $\mathbb{S}^1 \vee\mathbb{S}^n$ ) y la cuña del espacio proyectivo con esferas. En estos casos, la cubierta universal parece el producto cruzado de las hojas de las cubiertas universales de cada espacio de la cuña.

Para el caso de acuñar dos esferas, podemos utilizar el hecho de que $\pi_{n\geq2}\left(U\right)$ es isomorfo a $\pi_{n\geq2}\left(X\right)$ para $U$ cubierta $X$ .

Busqué un poco en Google para intentar encontrar algo, pero no apareció nada.

Gracias de antemano.

Answer 1

Si $X$ y $Y$ son dos espacios razonables con coberturas universales $\tilde{X}$ y $\tilde{Y}$ hay una bonita foto de la cubierta universal $\widetilde{X \vee Y}$ que tiene el patrón combinatorio de un árbol infinito. El árbol es bipartito con vértices etiquetados por los símbolos $X$ y $Y$ . Las aristas de un $X$ vértice son biyectivas con el grupo fundamental $\pi_1(X)$ y lo mismo para $Y$ vértices y $\pi_1(Y)$ . Para hacer $\widetilde{X \vee Y}$ sustituya cada $X$ vértice por $\tilde{X}$ y cada $Y$ vértice por $\tilde{Y}$ . El punto base de $X$ ascensores a $|\pi_1(X)|$ puntos en $\tilde{X}$ y lo mismo para $Y$ . En $\widetilde{X \vee Y}$ Copias de $\tilde{X}$ se adjuntan a las copias de $\tilde{Y}$ en las elevaciones de los puntos de base. Por ejemplo, si $X = Y = \mathbb{R}P^2$ entonces el árbol es una cadena infinita y $\widetilde{X \vee Y}$ es una cadena infinita de 2 esferas.

Esta imagen arbórea se generaliza muy bien y de forma espectacular a Teoría de Bass-Serre .