Si un espacio producto es contable en primer lugar, ¿cómo se puede demostrar que todos los factores, excepto los contables, tienen topología trivial?
Respuesta
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SUGERENCIA: Debes intentar demostrar el contrapositivo. Sea $\{\langle X_i,\tau_i\rangle:i\in I\}$ sea una familia de espacios topológicos, y $X=\prod_{i\in I}X_i$ con la topología del producto $\tau$ y que $$I_0=\{i\in I:\tau_i\text{ is not the trivial topology}\}\;.$$ Demuestre que si $I_0$ es incontable, entonces $X$ no puede ser primero contable. Te indicaré la dirección correcta.
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Para cada $i\in I_0$ elija un punto $p_i\in X_i$ que tiene un nbhd abierto $V_i\ne X_i$ y para cada $i\in I\setminus I_0$ deje $p_i$ cualquier punto de $X_i$ . Sea $p=\langle p_i:i\in I\rangle\in X$ . Sea $\{B_n:n\in\Bbb N\}$ sea cualquier familia contable de nbhds abiertos de $p$ .
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Demuestre que para cada $n\in\Bbb N$ hay un número finito de $F_n\subseteq I_0$ y conjuntos abiertos $U_i^{(n)}\in\tau_i$ para cada $i\in F_n$ tal que si $U_i^{(n)}=X_i$ para cada $i\in I\setminus F_n$ entonces el conjunto abierto básico $U_n=\prod_{i\in I}U_i^{(n)}$ es un nbhd abierto de $p$ contenida en $B_n$ .
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Explique por qué $I_0\setminus\bigcup_{n\in\Bbb N}F_n\ne\varnothing$ y arreglar $i_0\in I_0\setminus\bigcup_{n\in\Bbb N}F_n$ .
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Utilice $V_{i_0}$ construir una dnb abierta $V$ de $p$ en $X$ que no contenga ninguno de los conjuntos $U_n$ . Concluir que $V$ no contiene ninguno de los conjuntos $B_n$ y, por tanto, que $\{B_n:n\in\Bbb N\}$ no es una base local en $p$ .
