Demostrar una igualdad de la serie

Question

Necesito probar la siguiente igualdad,

$$ \int \limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int \limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(2a \sin(x) \sin(y))dxdy = \left(\int \limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos(a \sin(z))dz \right)^2 $$ para cada $a \in \mathbb{R}$ .

Lo demuestro de la siguiente manera.

1. Utilicé una expansión en serie para la integral izquierda:

$$ \cos(2a \sin(x)\sin(y)) = 1 + \sum_{i = 1}^{\infty}\left( (-1)^{i}\frac{(2a)^{2i}}{(2i)!}\sin^{2i}(x)\sin^{2i}(y)\right) \qquad (1). $$

Después de integrar $(1)$ será como $$ \frac{\pi^{2}}{4}\left(1 + \sum_{i = 1}^{\infty}\left( \frac{(-1)^{i}a^{2i}(2i)!}{2^{2i}(i!)^{4}}\right)\right). $$

1. Utilicé una expansión en serie para la integral derecha:

$$ \int \limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos(a \sin(z))dz = \frac{\pi}{2}\left(1 + \sum_{i = 1}^{\infty}\left( \frac{(-1)^{i}a^{2i}}{2^{2i}(i!)^{2}}\right)\right). $$

Cómo demostrar una igualdad de la siguiente expresión,

$$ \left(\frac{\pi}{2}\left( 1 + \sum_{i = 1}^{\infty}\left( \frac{(-1)^{i}a^{2i}}{2^{2i}(i!)^{2}}\right)\right) \right)^{2} \qquad (2), $$

$$ \frac{\pi^{2}}{4}\left(1 + \sum_{i = 1}^{\infty}\left( \frac{(-1)^{i}a^{2i}(2i)!}{2^{2i}(i!)^{4}}\right)\right), $$

por regalo al cuadrado de $(2)$ ?

Answer 1

Ambas series son hipergeométricas, y son fáciles de evaluar escribiéndolas en las formas canónicas: $$ \frac{\pi^2}{4} \sum_{i=0}^\infty \frac{(-1)^i \cdot a^{2i} \cdot (2i)!}{4^{i} (i!)^4} = \frac{\pi^2}{4} \sum_{i=0}^\infty \frac{(1/2)_i}{(1)_i \cdot (1)_i} \frac{(-a^2)^i}{i!} = \frac{\pi^2}{4} \cdot {}_1 F_{2}\left( \frac{1}{2} ; 1,1 ; -a^2\right) = \left(\frac{\pi}{2} \cdot J_0(a)\right)^2 $$ Del mismo modo: $$ \frac{\pi}{2}\sum_{i=0}^\infty \frac{(-1)^i a^{2i}}{2^{2i} (i!)^2} = \frac{\pi}{2}\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{(1)_i} \frac{(-a^2/4)^i}{i!} = \frac{\pi}{2} \cdot {}_0F_1\left(; 1; -\frac{a^2}{4}\right) = \frac{\pi}{2} \cdot J_0(a) $$ De este modo se establece la identidad.

Se utilizó la siguiente identidad hipergeométrica: para ${}_1F_2$ este y para ${}_0F_1$ este .