¿Qué pasa cuando incluyo una variable cuadrada en mi regresión?

Question

Empiezo con mi regresión de la OLS: $$ y = \beta _0 + \beta_1x_1 + \beta_2 D + \varepsilon $$ donde D es una variable ficticia, las estimaciones se vuelven diferentes de cero con un bajo valor p. Entonces realizo un test de Ramsey RESET y encuentro que tengo una mala interpretación de la ecuación, por lo que incluyo la x al cuadrado: $$ y = \beta _0 + \beta_1x_1 + \beta_2x_1 ^2+ \beta_3 D + \varepsilon $$

1. ¿Qué explica el término cuadrado? (¿Aumento no lineal en Y?)
2. Al hacer esto mi estimación D no varía más de cero, con un alto valor p. ¿Cómo interpreto el término cuadrado en mi ecuación (en general)?

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Answer 1

Bueno, en primer lugar, la variable ficticia se interpreta como un cambio de intercepción. Es decir, su coeficiente $\beta_3$ le da la diferencia en el intercepto cuando $D=1$ es decir, cuando $D=1$ el intercepto es $\beta_0 + \beta_3$ . Esa interpretación no cambia al añadir el cuadrado $x_1$ .

Ahora, el punto de añadir un cuadrado a la serie es que usted asume que la relación se desvanece en un cierto punto. Mirando tu segunda ecuación

$$y = \beta _0 + \beta_1x_1+\beta_2x_1^2+\beta_3 D + \varepsilon$$

Tomando la derivada con respecto a $x_1$ produce

$$\frac{\delta y}{\delta x_1} = \beta_1 + 2\beta_2 x_1$$

Al resolver esta ecuación se obtiene el punto de inflexión de la relación. Como explicó el usuario1493368, esto está reflejando efectivamente una forma de U inversa si $\beta_1<0$ y viceversa. Tomemos el siguiente ejemplo:

$$\hat{y} = 1.3 + 0.42 x_1 - 0.32 x_1^2 + 0.14D$$

La derivada con respecto a $x_1$ es

$$\frac{\delta y}{\delta x_1} = 0.42 - 2*0.32 x_1 $$

Resolver para $x_1$ le da

$$\frac{\delta y}{\delta x_1} = 0 \iff x_1 \approx 0.66 $$

Ese es el punto en el que la relación tiene su punto de inflexión. Puedes echar un vistazo a Wolfram-Alpha's de la función anterior, para visualizar un poco su problema.

Recuerde que al interpretar el efecto ceteris paribus de un cambio en $x_1$ en $y$ Hay que mirar la ecuación:

$$\Delta y = (\beta_1 + 2\beta_2x_1)\Delta x$$

Es decir, no se puede interpretar $\beta_1$ de forma aislada, una vez añadido el regresor al cuadrado $x_1^2$ ¡!

En cuanto a su insignificante $D$ después de incluir el cuadrado $x_1$ apunta a un sesgo de mala especificación.

Answer 2

Un buen ejemplo de inclusión del cuadrado de la variable proviene de la economía laboral. Si se asume y como salario (o logaritmo del salario) y x como una edad, entonces incluyendo x^2 significa que se está comprobando la relación cuadrática entre la edad y el salario. El salario aumenta con la edad a medida que las personas adquieren más experiencia, pero a mayor edad, el salario comienza a aumentar a un ritmo decreciente (las personas envejecen y no estarán tan sanas para trabajar como antes) y en algún momento el salario no crece (alcanza el nivel salarial óptimo) y luego comienza a caer (se jubilan y sus ingresos comienzan a disminuir). Así pues, la relación entre el salario y la edad tiene forma de U invertida (efecto del ciclo vital). En general, para el ejemplo mencionado aquí, el coeficiente de age se espera que sea positivo y que en age^2 El punto aquí es que debe haber una base teórica/justificación empírica para incluir el cuadrado de la variable. La variable ficticia, en este caso, puede considerarse que representa el género del trabajador. También se puede incluir el término de interacción de género y edad para examinar si el diferencial de género varía según la edad.