Resolver $\frac{x}{1-x}$ utilizando la definición de derivada

Question

Intentaba encontrar la ecuación de la recta tangente de esta función. Resolví esto usando la regla del cociente y obtuve $\frac{1}{(x-1)^2}$ pero no puedo obtener el mismo resultado utilizando la definición de derivadas. ¿Puede alguien mostrarme cómo hacerlo? He intentado buscarlo en wolfram alpha pero no consigo producir el resultado usando definición de derivadas.

Answer 1

$f'(x)\equiv \displaystyle\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ .

Para su función, el numerador en el límite es $\dfrac{x+h}{1-x-h}-\dfrac{x}{1-x}$ que es igual a $\dfrac{(1-x)(x+h)-(1-x-h)x}{(1-x)(1-x-h)}$ que se convierte en $\dfrac{x-xh-x^2+h-x+x^2+hx}{(1-x)(1-x-h)}$ ou $\dfrac{h}{(1-x)(1-x-h)}$ .

Ahora, puedes encontrar el límite como $h\to0$ .

Answer 2

Primero creamos un cociente de diferencias para esta función: $$\lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{(x+h)(1-(x+h))^{-1} - x(1-x)^{-1}}{h}$$ Ahora intentamos simplificar un poco el numerador haciendo que sea una fracción en lugar de la diferencia entre dos fracciones: $$ \begin{align} \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{(x+h)(1-(x+h))^{-1} - x(1-x)^{-1}}{h}&= \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} \frac{(x+h)(1-x)-x(1-x-h)}{(1-x-h)(1-x)}\\ &= \lim\limits_{h \rightarrow 0}\frac{1}{h}\frac{-x^2 +x - hx +h -x +x^2+hx}{1 - x -x + x^2 - h + hx}\\ &= \lim\limits_{h \rightarrow 0}\frac{1}{h}\frac{h}{x^2 + (h-2)x + 1-h } \end{align} $$

Ahora cancelando el $\frac{1}{h}$ obtenemos nuestra respuesta : $$\begin{align} \lim\limits_{h \rightarrow 0}\frac{1}{h}\frac{h}{x^2 + (h-2)x + 1-h } &= \lim\limits_{h \rightarrow 0}\frac{1}{x^2 + (h-2)x + 1-h }\\ \end{align} $$

Y ahora evaluando nuestro límite obtenemos finalmente $$\begin{align} \lim\limits_{h \rightarrow 0}\frac{1}{x^2 + (h-2)x + 1-h } &= \frac{1}{x^2 -2x + 1}\\ &= \frac{1}{(x-1)^2} \blacksquare \end{align} $$

Answer 3

$$ f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\frac{x+h}{1-(x+h)}-\frac{x}{1-x}}{h} \\ f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{x-x^2+h-hx-x+x^2+xh}{h(1-x-h)(1-x)} \\ f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{h}{h(1-x-h)(1-x)} \\ f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{(1-x-h)(1-x)} =\frac{1}{(1-x)^2}\\ $$

Answer 4

Utilizando la definición de derivadas, tenemos

$f(x)'=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Así, la derivada de $\frac{x}{1-x}$ es

$\large f(x)'=\lim_{h\rightarrow0}\frac{1}{h}(\frac{x+h}{1-x-h}-\frac{x}{1-x})=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}(\frac{(x+h)(1-x)-x(1-x-h)}{(1-x-h)(1-x)})=\lim_{h\rightarrow0}\frac{1}{x^2-2x+1+h(1-x)}=\frac{1}{(x-1)^2}$

Answer 5

$$f(x) = \frac{x}{1-x} $$

$$f(x+h) = \frac{x+h}{1-(x +h)}$$

$$f(x+h) - f(x) = \frac{(x+h)(1 -x) - x(1 -x -h)}{(1-x-h)(1-x)}$$

$$f(x+h) - f(x) = \frac{h}{(1-x-h)( 1-x)}$$

$$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+ h) - f(x) }{h}$$

$$ \lim_{h \to 0} \ \frac{h }{h(1-x-h)( 1-x)} $$

Ahora, divide h y deja que la otra h (dentro del paréntesis) sea cero.